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UP Board Solutions for Class 7 Maths Chapter 11 वृत्त
अभ्यास 11 (a)
प्रश्न 1.
पाश्र्व चित्र में Oवृत्त का केन्द्र है। निम्नलिखित कथनों (UPBoardSolutions.com) में सत्य/असत्य कथनों को बताइएः
(i) रेखाखंड AB जीवा है। (✓)
(ii) QF त्रिज्या है। (✗)
(iii) OD त्रिज्या है। (✓)
(iv) PC जीवा है। (✗)
प्रश्न 2.
अर्धवृत्त में बने कोण की माप होती है।
(i) 30°
(ii) 60°
(iii) 180°
(iv) 90° (✓)
प्रश्न 3.
आकृति 11.5 के अनुसार अपनी अभ्यास पुस्तिका पर एक (UPBoardSolutions.com) आकृति खींचकर उसके दीर्घ वृत्तखंड को छायांकित कीजिए।
उत्तर :
चित्र में दीर्घ वृत्तखंड ADB है।
प्रश्न 4.
आकृति 11.6 में 0 वृत्त का केन्द्र है। आकृति में निर्मित किन्हीं दी त्रिज्यखंडों के नाम लिखिए।
उत्तर :
चित्र में निर्मित्त दो त्रिज्यखंड OAB तथा OBC है।
प्रश्न 5.
2.5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए जिसका केन्द्र 0 (UPBoardSolutions.com) है। इस वृत्त को दो अर्द्धवृत्तों में विभक्त कीजिए।
रचना – सर्वप्रथम 0 को केन्द्र मानकर 2.5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा। AP वृत्त का व्यास AB खींचा, जिससे वृत्त दो भागों में विभक्त होगा।
प्रश्न 6.
आकृति 11.7 में 0 वृत्त का केन्द्र है। ∠ACB कितने अंश का है? अपने उत्तर के पक्ष में कारण बताइए।
उत्तर :
चूँकि अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है,
अतः ∠ACB = 90°
अभ्यास 11 (b)
प्रश्न 1.
अर्द्धवृत्त का अंशमाप होता है। (UPBoardSolutions.com)
(i) 45°
(ii) 90°
(iii) 180°
(iv) 360°
उत्तर :
(iii) 180°
प्रश्न 2.
किसी वृत्त में यदि उसके किसी लघुचाप का (UPBoardSolutions.com) अंशमाप 70° है, तो उसके दीर्घचाप का अंशमाप कितना होगा?
हल :
लघुचाप का अंशमाप = 70°
दीर्घचाप का अंशमाप = 360° – 70° = 290°
प्रश्न 3.
किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण तथा उसके द्वारा वृत्त के शेष भाग पर स्थित किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण में क्या सम्बन्ध होता है?
उत्तर :
किसी चाप द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण उसके द्वारा वृत्त के (UPBoardSolutions.com) शेष भाग पर स्थित किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण का दो गुना होता है।
प्रश्न 4.
आकृति 11.17 में 0 वृत्त का केन्द्र है। चाप AXB को अंशमाप बताइए।
हल :
∠APB = 35°
चाप AXB का अंशमाप = ∠ AOB
= 2 ∠ APB
= 2 × 35° = 70°
प्रश्न 5.
आकृति 11.18 में लधुचाप BCD एवं दीर्घचाप BAD (UPBoardSolutions.com) के अन्तर्गत कोणों के नाम बताइए।
हल :
लघुचाप BCD के अन्तर्गत कोण = ∠ BCD
दीर्घचाप BAD के अन्तर्गत कोण = ∠ BAD
प्रश्न 6.
आकृति 11.19 में o वृत्त का केन्द्र है। A, C और B वृत (UPBoardSolutions.com) पर तीन बिन्दु है, तथा ∠AOB को प्रतिवर्ती कोण = 240° है तो ACB का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∠ACB = ∠ AOB
∴ ∠ACB = × 240 = 120°
अभ्यास 11 (c)
प्रश्न 1.
आकृति 11.25 में एक ही वृत्तखंड में बने कोणों (UPBoardSolutions.com) के नाम लिखिए।”
हल :
∠ ACB और ∠ AEB एक ही वृत्तखंड में बने दीर्घ कोण हैं तथा ∠ADB और ∠AFB एक ही वृत्तखंड में बने लघुकोण हैं।
प्रश्न 2.
आकृति 11.26 मे बने कोण PRQ=45°, तो ∠PSQ का मान बताइए।
हल :
चूँकि एक ही वृत्तखंड में बने (UPBoardSolutions.com) कोण बराबर होते हैं।
अतः ∠ PSQ = ∠ PRQ = 45°
प्रश्न 3.
आकृति 11.27 में यदि ∠ACB=x, तो ∠ADB एवं ∠AEB के मान बताइए।
हल :
चूंकि एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं। अतः
∠ ADB = ∠ ACB = x°
∠AEB = ∠ ACB = x°
प्रश्न 4.
आकृति 11.28 में बने कोणों के सम्बन्ध में निम्नलिखित (UPBoardSolutions.com) कथनों में सत्य/असत्य कथनों को छाँटिएः
उत्तर :
(i) ∠BDC = ∠BAC – सत्य
(ii) ∠BDC = ∠BCA – असत्य
(iii) ∠ACB = ∠ADB – सत्य
(iv) ∠BDA = ∠CDB – असत्य
(v) ∠ACD = ∠DBA – सत्य
प्रश्न 5.
आकृति 11.29 में ∠ACB के बराबर निम्नलिखित (UPBoardSolutions.com) में से कौन-सा कोण है?
(i) ∠ABD
(ii) ∠ADB
(iii) ∠DBC
(iv) ∠BAD
उत्तर :
(ii) ∠ADB
दक्षता अभ्यास – 11
प्रश्न 1.
आकृति 11.32 में वृत्त को केन्द्र 0 है। रेखा BOD, ∠AOC की समद्विभाजक है, (UPBoardSolutions.com) तथा ∠COD=50°, तो ∠ABC की माप होगीः
(i) 50°
(ii) 25°
(iii) 100°
(iv) 120°
हल :
∠ AOC = 2 ∠ COD= 2 × 50° = 100°
∴ ∠ ABC = ∠ AOC = × 100° = 50° (i)
प्रश्न 2.
आकृति 11.33 में AB वृत्त की जीवा है बिन्दु C तथा D (UPBoardSolutions.com) वृत्त पर हैं। यदि ∠ADB = 45° तो ∠ACB की माप होगीः
(i) 90°
(ii) 135°
(iii) 45०
(iv) 223°
हल :
∠ ACB =∠ ADB = 45° (iii)
प्रश्न 3.
आकृति 11.34 में बिन्दु 0 वृत्त का केन्द्र है और ∠AOB = 60°, (UPBoardSolutions.com) तो ∠ADB की माप होगीः
(i) 120°
(ii) 150°
(iii) 140°
(iv) 30°
हल :
वृहत्त कोण AOB = 360° -∠ AOB = 360° – 60° = 300°
∴ ∠ ADB = × बृहत AOB = × 300° = 150° (ii)
प्रश्न 4.
आकृति 11.35 में बिन्दू 0 वृत्त का एक केन्द्र है। इस पर तीन बिन्दु A, B तथा C हैं। (UPBoardSolutions.com) यदि ∠ACB = 40° तो ∠AOB की माप होगीः
(i) 20°
(ii) 40°
(iii) 60°
(iv) 80°
हल :
∠AOB = 2 ∠ ACB = 2 × 40° = 80° (iv)
प्रश्न 5.
आकृति 11.36 में बिन्दु 0 वृत्त का एक केन्द्र है। वृत्त की दो समान जीवाए AC और BC खींची गई हैं। (UPBoardSolutions.com) ∠ABC का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि अर्द्धवृत्त का कोण समकोण होता है ∠ACB = 90°
प्रश्नानुसार, AC = BC4∠ CAB = ∠ABC
∠CAB + ∠ABC + ∠ ACB = 180°
∠ABC + ∠ABC + 90° = 180°
∠ ABC = 180° – 90° = 90°
∠ABC = = 45०
प्रश्न 6.
निम्नांकित वृत्तों में प्रत्येक का केन्द्र 0 है। प्रत्येक में x का (UPBoardSolutions.com) मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) x° = ∠AOB = 2 ∠ACB = 2 × 40° = 80°
(ii) x° = ∠ACB = 1/2 ∠AOB = × 105° = 52.5°
(iii) x° = ∠ACB = 1/2 ∠AOB = × 70° = 35°
प्रश्न 7.
वृत्त की एक जीवा की लम्बाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। (UPBoardSolutions.com) इस जीवा द्वारा लघु वृत्तखंड पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि वृत्त की जीवा AB वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। अत: ∆OAB समबाहु त्रिभुज होगा तथा तीनों कोण बराबर होंगे।
∠OAB +∠OBA+∠AOB = 180°
∠AOB +∠AOB +∠AOB = 180°
3∠AOB = 180°
∠AOB = = 60°
बृहत्त कोण AOB = 360° – ∠ AOB = 360° – 60° = 300° (UPBoardSolutions.com)
∠ACB = 3 बृहत्त ∠AOB = × 300° = 150°
अतः लघु वृत्तखंड पर अन्तरित कोण = 150°
प्रश्न 8.
3.0 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त की:एक जीवा । खींचकर वृत्त को दो वृतखंडों में विभक्त कीजिए।
हल :
सर्वप्रथम सेमी त्रिज्या लेकर परकार की सहायता से एक (UPBoardSolutions.com) वृत्त खींचा। किसी भी लम्बाई की एक जीवा AB खींची। अत: वृत्त, दीर्घ वृत्तखंड AYB तथा लघु वृत्तखंडे AXB में विभाजित हो गया।
प्रश्न 9.
अर्द्धवृत्त किसे कहते हैं? चित्र बनाकर स्पष्ट कीजिए।
उत्तर :
वृत्त के आधे भाग को अर्द्धवृत्त कहते हैं।
प्रश्न 10.
आकृति 11.38 में बिन्दु 0 वृत्त का केन्द्र हैं। AOB (UPBoardSolutions.com) वृत्त का व्यास है और ∠COB=40°। ज्ञात कीजिए:
(i) दीर्घचाप BC का अंशमाप
(ii) दीर्घचाप AC को अंशमाप
(iii) लघुचाप AC का अंशमाप
(iv) अर्द्धवृत्त ACB का अंशमाप।
हल :
(i) दीर्घचाप BC का अंशमाप = 360° – 40° = 320°
(ii) दीर्घचाप AC का अंशमाप = 360° – 140° = 220°
(iii) लघुचाप AC का अंशमाप = 360°-220° = 140°
(iv) अर्धवृत्त ACB का अंशमाप = 180°
प्रश्न 11.
आकृति 11.39 में 0 वृत्त का केन्द्र है। इसके अन्तर्गत एक (UPBoardSolutions.com) AABC बना है यदि ∠ACB= 30° तो ∠A और ∠B ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि अर्द्धवृत्त का (UPBoardSolutions.com) कोण समकोण होता है।
अतः ∠A = 90°
∠ACB + ∠ BAC + ∠ABC = 180°
30° + 90° + ∠ABC = 180°
120° + ∠ABC = 180°
∠ABC = 180° – 120° = 60°
प्रश्न 12.
वृत्त की एक जीवा की लम्बाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। (UPBoardSolutions.com) इस जीवा द्वारा दीर्घ वृत्तखंड पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि वृत्त की जीवा AB वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। (UPBoardSolutions.com) अत: ∆OAB समबाहु त्रिभुज होगा तथा तीनों कोण बराबर होंगे।
∠AOB = 60°
अतः दीर्घ वृतखंड पर अन्तरित कोण = x 60° = 30°
प्रश्न 13.
आकृति 11.40 में 0 वृत्त का केन्द्र है। ∠AEB= 130° और ∠EBC=20°, तो ∠BDA का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∠ AEB +∠ BEC = 180°
130° +∠ BEC = 180°
∠ BEC = 180° – 130° = 50°
∆ BEC में, 2 ECB +∠ BEC +∠ EBC = 180°
∠ ECB + 50° +20° = 180° (UPBoardSolutions.com)
∠ACB =∠ ECB = 180° – 70° = 110°
∠ BDA =∠ ACB = 110°
प्रश्न 14.
आकृति 11.41 में 0 वृत्त को केन्द्र है। (UPBoardSolutions.com) ∠ABC=40° और ∠CAB= 80°, तो ∠ADB का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∆ABC में,
∠ ABC + ∠CAB +∠ ACB = 180°
40° + 80° + 2 ACB = 180°
120° + 2 ACB = 180°
∠ ACB = 180° – 120° = 60°
प्रश्न 15.
आकृति 11.42 में 0 वृत्त का केन्द्र है तथा AABC एक समबाहु त्रिभुज है ∠BOC का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि A ABC एक समबाहु त्रिभुज है। (UPBoardSolutions.com) अतः त्रिभुज के तीनों कोण बराबर होंगे।
∴ ∠ BAC = = 60°
∠ BOC = 2 ∠ BAC = 2 × 60° = 120°
प्रश्न 16.
आकृति 11.43 में 0 वृत्त का केन्द्र है और ∠BOD=130°, ∠BCD का माप ज्ञात कीजिए।
हल :
अधिक कोण ∠ BOD = 130°
वृहत कोण ∠ BOD = 360° – 130° = 230°
∠ BCD = 1/2 ∠ BOD (UPBoardSolutions.com)
= × 230° = 115°
प्रश्न 17.
आकृति 11.44 में 0 वृत्त का केन्द्र है। (UPBoardSolutions.com) ∠OBC=40°, तो ∠BAC का माप ज्ञात कीजिए।
हल :
A OBC में ∠OCB = ∠OBC= 40°
∠ OBC +∠OCB +∠ BOC = 180°
40° + 40° +∠ BOC = 180°
80° +∠ BOC = 180° (UPBoardSolutions.com)
∠ BOC = 180° – 80° = 100°
∠ BAC = ∠ BOC
= × 100° = 50°
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