UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations

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Board UP Board
Textbook NCERT
Class Class 12
Subject Maths
Chapter Chapter 9
Chapter Name Differential Equations
Exercise Ex 9.1, Ex 9.2, Ex 9.3, Ex 9.4, Ex 9.5, Ex 9.6
Number of Questions Solved 95
Category UP Board Solutions

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations

प्रश्नावली 9.1.

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए

Avkalan Samikaran Class 12 प्रश्न 1.
Avkalan Samikaran Class 12 UP Board Solutions Maths Chapter 9
हल-
दी गई अवकल समीकरण अवकलजों में बहुपद समीकरण नहीं है।
∴ इसकी घात परिभाषित नहीं है। जबकि कोटि = 4

Awkal Samikaran Class 12th प्रश्न 2.
y’ + 5y = 0
हल-
चूँकि अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि की अवकलज y’ है जिसकी कोटि 1 तथा घात 1 है। अतः समीकरण की कोटि 1 तथा घात 1 है।

अवकल समीकरण क्लास 12th प्रश्न 3.
Awkal Samikaran Class 12th UP Board Solutions Maths Chapter 9
हल-
कोटि = 2, घात = 1

अवकल समीकरण कक्षा 12 प्रश्न 4.
अवकल समीकरण क्लास 12th UP Board Solutions Maths Chapter 9
हल-
कोटि = 2
चूँकि समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है।
अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।

Awkal Samikaran Class 12 प्रश्न 5.
अवकल समीकरण कक्षा 12 UP Board Solutions Maths Chapter 9
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } है जिसकी कोटि 2 तथा घात 1 है। अतः अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

Class 12 Maths Ch 9 Miscellaneous प्रश्न 6.
(y”’)2 + (y”)3 + (y’)4 + y5 = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज (y”’)² है जिसकी कोटि 3 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 3 तथा घात 2 है।

Class 12 Chapter 9 प्रश्न 7.
y”‘ + 2y” + y’ = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y”’ है जिसकी कोटि 3 तथा घात 1 है। अतः अवकल समीकरण की कोटि 3 तथा घात 1 है।

प्रश्न 8.
y’ + y = ex
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y’ है जिसकी कोटि 1 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 1 तथा घात 1 है।

प्रश्न 9.
y” + (y’)² + 2y = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y” है जिसकी कोटि 2 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 10.
y” + 2y’ + siny = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y” है तथा यह y’, y” में बहुपदी है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण
Awkal Samikaran Class 12 UP Board Solutions Maths Chapter 9
की घात है
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) परिभाषित नहीं है।
हल-
दी गई समीकरण y’, y” में बहुपद समीकरण नहीं है। अत: इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है। अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण
Class 12 Maths Ch 9 Miscellaneous UP Board Solutions Maths Chapter 9
की कोटि है
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) परिभाषित नहीं है।
हल-
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलज
Class 12 Chapter 9 UP Board Solutions Maths Chapter 9
कोटि 2 है।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्नावली 9.2

1 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है

प्रश्न 1.
y = ex + 1 : y” – y’ = 0
हल-
दिया है y = ex + 1, अवकल समीकरण y” – y’ = 0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
y”- y’ = ex – ex = 0
अतः y = ex + 1 अवकल समीकरण y” – y’ = 0 का हल है।

प्रश्न 2.
y = x² + 2x + C : y’ – 2x – 2 = 0
हल-
दिया है, y = x² + 2x + C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = 2x + 2 + 0 ⇒ y’ – 2x – 2 = 0
∴y = x² + 2x + C, अवकल समीकरण y’ – 2x – 2 = 0 का हल है।

प्रश्न 3.
y = cos x + C : y’ + sin x = 0
हल-
दिया है, y = cos x + C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y’ = – sin x + 0 या y’ + sin x = 0
∴y = cos x + C, अवकल समीकरण y’ + sin x = 0 का हल है।

प्रश्न 4.
दिखाइए कि y=\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } , अवकल समीकरण { y }^{ I }=\frac { xy }{ 1+{ x }^{ 2 } } , का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन y=\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } …(1)
(1) का x में सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
y = Ax : xy’ = y (x ≠ 0)
हल-
दिया है, y = Ax ..(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = A x 1 ..(2)
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xy’ = y (x ≠ 0) का हल y = Ax है।

प्रश्न 6.
दिखाइए कि y = xsin x, अवकल समीकरण x{ y }^{ I }=y+x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } (x≠0 और x > y अथवा x < – y) का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन y = xsinx …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = x cos x + sin x . 1 = x cos x + sinx
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प्रश्न 7.
दिखाइए कि xy = logy + C अवकल समीकरण
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का हल है।
हल-
दिया है। xy = log y + C …(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
दिखाइए कि y – cosy = x अवकल समीकरण (y siny + cosy + x)\frac { dy }{ dx }=y का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन
y – cos y = X …(1)
(1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
x + y = tan-1 y : y²y’ + y² + 1 = 0
हल-
दिया है,
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प्रश्न 10.
सत्यापित कीजिए कि y=\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } , x∈ [-a, a] अवकल समीकरण x+y\frac { dy }{ dx } =0 का एक हल है।
हल-
प्रश्नानुसार, y=\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } …(1)
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प्रश्न 11.
चौथे क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में मनमानी स्थिरांक की संख्या निम्न है:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
हल-
(b) चौथे क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में 4 मनमानी स्थिरांक हैं।
क्योंकि इसमें भिन्न समीकरण के क्रम के रूप में मनमानी स्थिरांक की एक ही संख्या होती है।

प्रश्न 12.
तीसरे क्रम के अंतर समीकरण के विशेष समाधान में मनमानी स्थिरांक की संख्या निम्न है:
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
हल-
(d)मनमानी स्थिरांक = 0 की संख्या
क्योंकि विशेष समाधान मनमानी स्थिरांक से मुक्त है।

प्रश्नावली 9.3

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1
हल-
दिया है, \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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अतः अभीष्ट अवकल समीकरण y” = 0 है।

प्रश्न 2.
y² = a(b² – x²)
हल-
दिया है,
y² = a(b² – x²) ..(1)
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प्रश्न 3.
y = ae3x + be-2x
हल-
दिया है,
y = ae3x + be-2x ..(1)
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प्रश्न 4.
y = e2x (a + bx)
हल-
दिया है,
y = e2x (a + bx) …(1)
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प्रश्न 5.
y = ex (a cosx + b sinx)
हल-
दिया है,
y = ex (a cosx + b sinx) …(1)
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प्रश्न 6.
y-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
वृत्त y को मल बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्त केन्द्र x अक्ष पर होगा। माना (a, 0) वृत्त का केन्द्र तथा a वृत्त की त्रिज्या है, तब वृत्त का समीकरण
(x-a)² + y² = a²
या x² + a² – 2ax + y² = a²
या x² + y² – 2ax = 0 …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूलबिन्दु पर है और जिनको अक्ष धनात्मक y-अक्ष की दिशा में है।
हल-
ऐसे परवलय के कुल का समीकरण जिसका शीर्ष मूल बिन्दू तथा अक्ष OY है, निम्नवत् है, …(1)
x² = 4ay
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।
हल-
ऐसे दीर्घवृत्त के कुल का समीकरण जिसकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिसका केन्द्र मूल बिन्दु पर है।
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प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु पर है।
हल-
दिये गये अतिपरवलय कुल का समीकरण
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यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल की अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल-
दिये गये वृत्त कुल का समीकरण x² + (y – b)² = 9 …(1)
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यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित में से कौन सा अंतर समीकरण है
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के रूप में सामान्य समाधान?
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हल-
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प्रश्न 12.
निम्न में से किन अंतर समीकरणों में वाई y = x एक्स का विशेष समाधान है?
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हल-
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प्रश्नावली 9.4

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण को व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1
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हल-
दिया है,
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चरों को अलग-अलग करके समाकलन करने पर,
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प्रश्न 2
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हल-
दिया है,
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चरों का पृथक्करण करके समाकलन करने पर,
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जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.
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हल-
दिया है,
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चरों का पृथक्करण करने पर,
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जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.
sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
हल-
दिया है, sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
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जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण (ex + e-x) dy – (ex – e-x)dx = 0 को हल कीजिए।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
(e+ e-x) dy – (ex – e-x) dx = 0 यी (ex + e-x) dy = (ex – e-x) dx
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प्रश्न 6.
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हल-
दिया है,
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जोकि अभीष्ट हल है।
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प्रश्न 7.
y log y dx – x dy = 0
हल-
दिया है,
y log y dx – x dy = 0
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जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 8.
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हल-
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प्रश्न 9.
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हल-
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11 से 14 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
(x3 + x2 + x + 1)\frac { dy }{ dx } = 2x² + x; y = 1 यदि x = 0
हल-
दिया है, (x3 + x2 + x + 1)\frac { dy }{ dx } = 2x² + x
या (x3 + x2 + x + 1) dy = (2x2 + x) dx
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प्रश्न 12.
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हल-
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प्रश्न 13.
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हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15.
बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = ex sin x है।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण y’ = esin x
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प्रश्न 16.
अवकल समीकरण xy\frac { dy }{ dx } = (x + 2) (y + 2) के लिए बिन्दु (1,-1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण, xy\frac { dy }{ dx } = (x + 2) (y + 2)
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प्रश्न 17.
बिन्दु (0,-2) से होकर जाने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के y निर्देशांक का गुणनफल उस बिन्दु के x निर्देशांक के बराबर है।
हल-
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प्रश्न 18.
एक वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता स्पर्श बिन्दु को बिन्दु (-4,-3) से मिलाने वाले रेखाखण्ड की प्रवणता की दुगुनी है। यदि यह वक्र बिन्दु (-2, 1) से गुजरता है तो इस वक़ की समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है, तो t सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल-
माना किसी समय ‘t’ पर गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है।
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प्रश्न 20.
किसी बैंक में मूलधन में वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि Rs 100, 10 वर्षों में दुगुने हो जाते हैं, तो r को मान ज्ञात कीजिए। (loge2= 0.6931)
हल-
माना मूलधन P है, तब प्रश्नानुसार
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प्रश्न 21.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में Rs 1000 जमा कराए जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी?(e0.5 = 1.648)
हल-
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प्रश्न 22.
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घण्टों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी, यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनकी उपस्थित संख्या के समानुपाती हैं?
हल-
माना जीवाणु समूह की संख्या जब t = 0 है, 1,00,000 और किसी समय t पर N है।
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प्रश्न 23.
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हल-
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प्रश्नावली 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल सम्मकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए

प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²)dx
हल-
दिया गया समीकरण
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प्रश्न 2.
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हल-
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प्रश्न 3.
(x – y)dy – (x + y)dx = 0
हल-
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प्रश्न 4.
(x² – y²) dx + 2xy dy = 0
हल-
दिया है, (x² – y²) dx + 2xy dy = 0
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प्रश्न 5.
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हल-
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प्रश्न 6.
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हल-
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प्रश्न 7.
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हल-
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प्रश्न 8.
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हल-
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प्रश्न 9.
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हल-
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प्रश्न 10.
(1 + ex/y)dx + ex/y(1 – x/y)dy = 0
हल-
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11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्धको सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण (x + y)dy + (x – y) dx = 0 का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 1 यदि x =1
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
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प्रश्न 12.
अवकल समीकरण x² dy + (xy + y²) dx = 0 का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 1 यदि x = 1
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
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प्रश्न 13.
अवकल समीकरण
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का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y=\frac { \pi }{ 4 } यदि x = 1
हल-
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प्रश्न 14.
अवकल समीकरण
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का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 0 यदि x = 1
हल-
दिया हुआ अवकल समीकरण
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प्रश्न 15.
अवकल समीकरण
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 102
का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 2 यदि x = 1

प्रश्न 16.
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हल-
(c) x = vy

प्रश्न 17.
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हल-
(d)

प्रश्नावली 9.6

1 से 12 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
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हल-
दी गई अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है।
P = 2 तथा Q = sin x
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प्रश्न 2.

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हल-
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प्रश्न 3.
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हल-
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प्रश्न 4
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है।
P = sec x ,Q = tan x
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प्रश्न 5.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 6.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 7.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 8.
अवकल समीकरण (1+x²)dy + 2xy dx = cotx dx ,(x≠0) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 9.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 10.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 11.
अवकल समीकरण y dx + (x – y²)dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 12.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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13 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्धको सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हुल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13.
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हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15.
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हल-
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प्रश्न 16.
मूल विन्दु से होकर जाने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
हल-
माना दिया गया वक्र y = f(x) है,
तब प्रश्नानुसार \frac { dy }{ dx }=x+y
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प्रश्न 17.
विन्दु 0, 2) से होकर जाने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी विन्दुके निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।
हल-
माना दिया गया वक्र y = f(x) है।
तब प्रश्नानुसार x+y=\frac { dy }{ dx }+5
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प्रश्न 18.
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हल-
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प्रश्न 19.
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हल-
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हल-
दी गई अवकल समीकरण अवकलजों में बहुपद समीकरण नहीं है।
∴ इसकी घात परिभाषित नहीं है। जबकि कोटि = 4

प्रश्न 2.
y’ + 5y = 0
हल-
चूँकि अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि की अवकलज y’ है जिसकी कोटि 1 तथा घात 1 है। अतः समीकरण की कोटि 1 तथा घात 1 है।

प्रश्न 3.
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हल-
कोटि = 2, घात = 1

प्रश्न 4.
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हल-
कोटि = 2
चूँकि समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है।
अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 5.
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हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } है जिसकी कोटि 2 तथा घात 1 है। अतः अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 6.
(y”’)2 + (y”)3 + (y’)4 + y5 = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज (y”’)² है जिसकी कोटि 3 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 3 तथा घात 2 है।

प्रश्न 7.
y”‘ + 2y” + y’ = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y”’ है जिसकी कोटि 3 तथा घात 1 है। अतः अवकल समीकरण की कोटि 3 तथा घात 1 है।

प्रश्न 8.
y’ + y = ex
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y’ है जिसकी कोटि 1 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 1 तथा घात 1 है।

प्रश्न 9.
y” + (y’)² + 2y = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y” है जिसकी कोटि 2 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 10.
y” + 2y’ + siny = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y” है तथा यह y’, y” में बहुपदी है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण
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की घात है
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) परिभाषित नहीं है।
हल-
दी गई समीकरण y’, y” में बहुपद समीकरण नहीं है। अत: इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है। अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण
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की कोटि है
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) परिभाषित नहीं है।
हल-
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलज
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कोटि 2 है।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्नावली 9.2

1 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है

प्रश्न 1.
y = ex + 1 : y” – y’ = 0
हल-
दिया है y = ex + 1, अवकल समीकरण y” – y’ = 0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
y”- y’ = ex – ex = 0
अतः y = ex + 1 अवकल समीकरण y” – y’ = 0 का हल है।

प्रश्न 2.
y = x² + 2x + C : y’ – 2x – 2 = 0
हल-
दिया है, y = x² + 2x + C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = 2x + 2 + 0 ⇒ y’ – 2x – 2 = 0
∴y = x² + 2x + C, अवकल समीकरण y’ – 2x – 2 = 0 का हल है।

प्रश्न 3.
y = cos x + C : y’ + sin x = 0
हल-
दिया है, y = cos x + C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y’ = – sin x + 0 या y’ + sin x = 0
∴y = cos x + C, अवकल समीकरण y’ + sin x = 0 का हल है।

प्रश्न 4.
दिखाइए कि y=\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } , अवकल समीकरण { y }^{ I }=\frac { xy }{ 1+{ x }^{ 2 } } , का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन y=\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } …(1)
(1) का x में सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
y = Ax : xy’ = y (x ≠ 0)
हल-
दिया है, y = Ax ..(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = A x 1 ..(2)
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xy’ = y (x ≠ 0) का हल y = Ax है।

प्रश्न 6.
दिखाइए कि y = xsin x, अवकल समीकरण x{ y }^{ I }=y+x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } (x≠0 और x > y अथवा x < – y) का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन y = xsinx …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = x cos x + sin x . 1 = x cos x + sinx
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प्रश्न 7.
दिखाइए कि xy = logy + C अवकल समीकरण
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का हल है।
हल-
दिया है। xy = log y + C …(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
दिखाइए कि y – cosy = x अवकल समीकरण (y siny + cosy + x)\frac { dy }{ dx }=y का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन
y – cos y = X …(1)
(1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
x + y = tan-1 y : y²y’ + y² + 1 = 0
हल-
दिया है,
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प्रश्न 10.
सत्यापित कीजिए कि y=\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } , x∈ [-a, a] अवकल समीकरण x+y\frac { dy }{ dx } =0 का एक हल है।
हल-
प्रश्नानुसार, y=\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } …(1)
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प्रश्न 11.
चौथे क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में मनमानी स्थिरांक की संख्या निम्न है:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
हल-
(b) चौथे क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में 4 मनमानी स्थिरांक हैं।
क्योंकि इसमें भिन्न समीकरण के क्रम के रूप में मनमानी स्थिरांक की एक ही संख्या होती है।

प्रश्न 12.
तीसरे क्रम के अंतर समीकरण के विशेष समाधान में मनमानी स्थिरांक की संख्या निम्न है:
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
हल-
(d)मनमानी स्थिरांक = 0 की संख्या
क्योंकि विशेष समाधान मनमानी स्थिरांक से मुक्त है।

प्रश्नावली 9.3

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1
हल-
दिया है, \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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अतः अभीष्ट अवकल समीकरण y” = 0 है।

प्रश्न 2.
y² = a(b² – x²)
हल-
दिया है,
y² = a(b² – x²) ..(1)
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प्रश्न 3.
y = ae3x + be-2x
हल-
दिया है,
y = ae3x + be-2x ..(1)
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प्रश्न 4.
y = e2x (a + bx)
हल-
दिया है,
y = e2x (a + bx) …(1)
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प्रश्न 5.
y = ex (a cosx + b sinx)
हल-
दिया है,
y = ex (a cosx + b sinx) …(1)
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प्रश्न 6.
y-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
वृत्त y को मल बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्त केन्द्र x अक्ष पर होगा। माना (a, 0) वृत्त का केन्द्र तथा a वृत्त की त्रिज्या है, तब वृत्त का समीकरण
(x-a)² + y² = a²
या x² + a² – 2ax + y² = a²
या x² + y² – 2ax = 0 …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूलबिन्दु पर है और जिनको अक्ष धनात्मक y-अक्ष की दिशा में है।
हल-
ऐसे परवलय के कुल का समीकरण जिसका शीर्ष मूल बिन्दू तथा अक्ष OY है, निम्नवत् है, …(1)
x² = 4ay
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।
हल-
ऐसे दीर्घवृत्त के कुल का समीकरण जिसकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिसका केन्द्र मूल बिन्दु पर है।
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प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु पर है।
हल-
दिये गये अतिपरवलय कुल का समीकरण
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यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल की अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल-
दिये गये वृत्त कुल का समीकरण x² + (y – b)² = 9 …(1)
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यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित में से कौन सा अंतर समीकरण है
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के रूप में सामान्य समाधान?
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हल-
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प्रश्न 12.
निम्न में से किन अंतर समीकरणों में वाई y = x एक्स का विशेष समाधान है?
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हल-
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प्रश्नावली 9.4

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण को व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1
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हल-
दिया है,
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चरों को अलग-अलग करके समाकलन करने पर,
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प्रश्न 2
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हल-
दिया है,
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चरों का पृथक्करण करके समाकलन करने पर,
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जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.
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हल-
दिया है,
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चरों का पृथक्करण करने पर,
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जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.
sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
हल-
दिया है, sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
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जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण (ex + e-x) dy – (ex – e-x)dx = 0 को हल कीजिए।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
(e+ e-x) dy – (ex – e-x) dx = 0 यी (ex + e-x) dy = (ex – e-x) dx
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प्रश्न 6.
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हल-
दिया है,
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जोकि अभीष्ट हल है।
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प्रश्न 7.
y log y dx – x dy = 0
हल-
दिया है,
y log y dx – x dy = 0
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जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 8.
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हल-
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प्रश्न 9.
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हल-
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11 से 14 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
(x3 + x2 + x + 1)\frac { dy }{ dx } = 2x² + x; y = 1 यदि x = 0
हल-
दिया है, (x3 + x2 + x + 1)\frac { dy }{ dx } = 2x² + x
या (x3 + x2 + x + 1) dy = (2x2 + x) dx
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प्रश्न 12.
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हल-
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प्रश्न 13.
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हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15.
बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = ex sin x है।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण y’ = esin x
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प्रश्न 16.
अवकल समीकरण xy\frac { dy }{ dx } = (x + 2) (y + 2) के लिए बिन्दु (1,-1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण, xy\frac { dy }{ dx } = (x + 2) (y + 2)
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प्रश्न 17.
बिन्दु (0,-2) से होकर जाने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के y निर्देशांक का गुणनफल उस बिन्दु के x निर्देशांक के बराबर है।
हल-
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प्रश्न 18.
एक वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता स्पर्श बिन्दु को बिन्दु (-4,-3) से मिलाने वाले रेखाखण्ड की प्रवणता की दुगुनी है। यदि यह वक्र बिन्दु (-2, 1) से गुजरता है तो इस वक़ की समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है, तो t सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल-
माना किसी समय ‘t’ पर गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है।
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प्रश्न 20.
किसी बैंक में मूलधन में वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि Rs 100, 10 वर्षों में दुगुने हो जाते हैं, तो r को मान ज्ञात कीजिए। (loge2= 0.6931)
हल-
माना मूलधन P है, तब प्रश्नानुसार
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प्रश्न 21.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में Rs 1000 जमा कराए जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी?(e0.5 = 1.648)
हल-
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प्रश्न 22.
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घण्टों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी, यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनकी उपस्थित संख्या के समानुपाती हैं?
हल-
माना जीवाणु समूह की संख्या जब t = 0 है, 1,00,000 और किसी समय t पर N है।
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प्रश्न 23.
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हल-
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प्रश्नावली 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल सम्मकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए

प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²)dx
हल-
दिया गया समीकरण
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प्रश्न 2.
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हल-
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प्रश्न 3.
(x – y)dy – (x + y)dx = 0
हल-
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प्रश्न 4.
(x² – y²) dx + 2xy dy = 0
हल-
दिया है, (x² – y²) dx + 2xy dy = 0
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प्रश्न 5.
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हल-
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प्रश्न 6.
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हल-
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प्रश्न 7.
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हल-
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प्रश्न 8.
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हल-
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प्रश्न 9.
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हल-
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प्रश्न 10.
(1 + ex/y)dx + ex/y(1 – x/y)dy = 0
हल-
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11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्धको सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण (x + y)dy + (x – y) dx = 0 का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 1 यदि x =1
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
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प्रश्न 12.
अवकल समीकरण x² dy + (xy + y²) dx = 0 का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 1 यदि x = 1
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
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प्रश्न 13.
अवकल समीकरण
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का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y=\frac { \pi }{ 4 } यदि x = 1
हल-
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प्रश्न 14.
अवकल समीकरण
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का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 0 यदि x = 1
हल-
दिया हुआ अवकल समीकरण
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प्रश्न 15.
अवकल समीकरण
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 102
का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 2 यदि x = 1

प्रश्न 16.
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हल-
(c) x = vy

प्रश्न 17.
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हल-
(d)

प्रश्नावली 9.6

1 से 12 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
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हल-
दी गई अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है।
P = 2 तथा Q = sin x
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प्रश्न 2.

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हल-
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प्रश्न 3.
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हल-
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प्रश्न 4
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है।
P = sec x ,Q = tan x
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प्रश्न 5.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 6.
अवकल समीकरण
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 113
का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 7.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 8.
अवकल समीकरण (1+x²)dy + 2xy dx = cotx dx ,(x≠0) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 118

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 120
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प्रश्न 10.
अवकल समीकरण
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 121
का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 11.
अवकल समीकरण y dx + (x – y²)dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 12.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 126

13 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्धको सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हुल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13.
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हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 128
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प्रश्न 14.
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हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 131

प्रश्न 15.
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हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 133
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प्रश्न 16.
मूल विन्दु से होकर जाने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
हल-
माना दिया गया वक्र y = f(x) है,
तब प्रश्नानुसार \frac { dy }{ dx }=x+y
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 135

प्रश्न 17.
विन्दु 0, 2) से होकर जाने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी विन्दुके निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।
हल-
माना दिया गया वक्र y = f(x) है।
तब प्रश्नानुसार x+y=\frac { dy }{ dx }+5
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 136
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प्रश्न 18.
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हल-
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प्रश्न 19.
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हल-
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हल-
दी गई अवकल समीकरण अवकलजों में बहुपद समीकरण नहीं है।
∴ इसकी घात परिभाषित नहीं है। जबकि कोटि = 4

प्रश्न 2.
y’ + 5y = 0
हल-
चूँकि अवकल समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि की अवकलज y’ है जिसकी कोटि 1 तथा घात 1 है। अतः समीकरण की कोटि 1 तथा घात 1 है।

प्रश्न 3.
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हल-
कोटि = 2, घात = 1

प्रश्न 4.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 3
हल-
कोटि = 2
चूँकि समीकरण का बायाँ पक्ष अवकलजों में बहुपद नहीं है।
अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 5.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 4
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } है जिसकी कोटि 2 तथा घात 1 है। अतः अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 6.
(y”’)2 + (y”)3 + (y’)4 + y5 = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज (y”’)² है जिसकी कोटि 3 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 3 तथा घात 2 है।

प्रश्न 7.
y”‘ + 2y” + y’ = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y”’ है जिसकी कोटि 3 तथा घात 1 है। अतः अवकल समीकरण की कोटि 3 तथा घात 1 है।

प्रश्न 8.
y’ + y = ex
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y’ है जिसकी कोटि 1 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 1 तथा घात 1 है।

प्रश्न 9.
y” + (y’)² + 2y = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y” है जिसकी कोटि 2 तथा घात 1 है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 10.
y” + 2y’ + siny = 0
हल-
चूँकि दिए गए अवकल समीकरण में उच्चतम कोटि का अवकलज y” है तथा यह y’, y” में बहुपदी है। अत: अवकल समीकरण की कोटि 2 तथा घात 1 है।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 5
की घात है
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) परिभाषित नहीं है।
हल-
दी गई समीकरण y’, y” में बहुपद समीकरण नहीं है। अत: इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है। अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 6
की कोटि है
(a) 2
(b) 1
(c) 0
(d) परिभाषित नहीं है।
हल-
अवकल समीकरण में उच्चतम अवकलज
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कोटि 2 है।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्नावली 9.2

1 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है

प्रश्न 1.
y = ex + 1 : y” – y’ = 0
हल-
दिया है y = ex + 1, अवकल समीकरण y” – y’ = 0
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 8
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर,
y”- y’ = ex – ex = 0
अतः y = ex + 1 अवकल समीकरण y” – y’ = 0 का हल है।

प्रश्न 2.
y = x² + 2x + C : y’ – 2x – 2 = 0
हल-
दिया है, y = x² + 2x + C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = 2x + 2 + 0 ⇒ y’ – 2x – 2 = 0
∴y = x² + 2x + C, अवकल समीकरण y’ – 2x – 2 = 0 का हल है।

प्रश्न 3.
y = cos x + C : y’ + sin x = 0
हल-
दिया है, y = cos x + C
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y’ = – sin x + 0 या y’ + sin x = 0
∴y = cos x + C, अवकल समीकरण y’ + sin x = 0 का हल है।

प्रश्न 4.
दिखाइए कि y=\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } , अवकल समीकरण { y }^{ I }=\frac { xy }{ 1+{ x }^{ 2 } } , का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन y=\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } …(1)
(1) का x में सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
y = Ax : xy’ = y (x ≠ 0)
हल-
दिया है, y = Ax ..(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = A x 1 ..(2)
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 10
xy’ = y (x ≠ 0) का हल y = Ax है।

प्रश्न 6.
दिखाइए कि y = xsin x, अवकल समीकरण x{ y }^{ I }=y+x\sqrt { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } } (x≠0 और x > y अथवा x < – y) का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन y = xsinx …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर, y’ = x cos x + sin x . 1 = x cos x + sinx
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 11

प्रश्न 7.
दिखाइए कि xy = logy + C अवकल समीकरण
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 12
का हल है।
हल-
दिया है। xy = log y + C …(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
दिखाइए कि y – cosy = x अवकल समीकरण (y siny + cosy + x)\frac { dy }{ dx }=y का एक हल है।
हल-
दिया गया फलन
y – cos y = X …(1)
(1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
x + y = tan-1 y : y²y’ + y² + 1 = 0
हल-
दिया है,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 15

प्रश्न 10.
सत्यापित कीजिए कि y=\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } , x∈ [-a, a] अवकल समीकरण x+y\frac { dy }{ dx } =0 का एक हल है।
हल-
प्रश्नानुसार, y=\sqrt { { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } …(1)
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प्रश्न 11.
चौथे क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में मनमानी स्थिरांक की संख्या निम्न है:
(a) 0
(b) 2
(c) 3
(d) 4
हल-
(b) चौथे क्रम के अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में 4 मनमानी स्थिरांक हैं।
क्योंकि इसमें भिन्न समीकरण के क्रम के रूप में मनमानी स्थिरांक की एक ही संख्या होती है।

प्रश्न 12.
तीसरे क्रम के अंतर समीकरण के विशेष समाधान में मनमानी स्थिरांक की संख्या निम्न है:
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0
हल-
(d)मनमानी स्थिरांक = 0 की संख्या
क्योंकि विशेष समाधान मनमानी स्थिरांक से मुक्त है।

प्रश्नावली 9.3

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
\frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1
हल-
दिया है, \frac { x }{ a } +\frac { y }{ b } =1
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 17
अतः अभीष्ट अवकल समीकरण y” = 0 है।

प्रश्न 2.
y² = a(b² – x²)
हल-
दिया है,
y² = a(b² – x²) ..(1)
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प्रश्न 3.
y = ae3x + be-2x
हल-
दिया है,
y = ae3x + be-2x ..(1)
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UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 20

प्रश्न 4.
y = e2x (a + bx)
हल-
दिया है,
y = e2x (a + bx) …(1)
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प्रश्न 5.
y = ex (a cosx + b sinx)
हल-
दिया है,
y = ex (a cosx + b sinx) …(1)
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प्रश्न 6.
y-अक्ष को मूलबिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
वृत्त y को मल बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्त केन्द्र x अक्ष पर होगा। माना (a, 0) वृत्त का केन्द्र तथा a वृत्त की त्रिज्या है, तब वृत्त का समीकरण
(x-a)² + y² = a²
या x² + a² – 2ax + y² = a²
या x² + y² – 2ax = 0 …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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जोकि अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूलबिन्दु पर है और जिनको अक्ष धनात्मक y-अक्ष की दिशा में है।
हल-
ऐसे परवलय के कुल का समीकरण जिसका शीर्ष मूल बिन्दू तथा अक्ष OY है, निम्नवत् है, …(1)
x² = 4ay
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूलबिन्दु है।
हल-
ऐसे दीर्घवृत्त के कुल का समीकरण जिसकी नाभियाँ y-अक्ष पर हैं तथा जिसका केन्द्र मूल बिन्दु पर है।
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 27

प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिसकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु पर है।
हल-
दिये गये अतिपरवलय कुल का समीकरण
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 28
यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल की अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल-
दिये गये वृत्त कुल का समीकरण x² + (y – b)² = 9 …(1)
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 29
यही अभीष्ट अवकल समीकरण है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित में से कौन सा अंतर समीकरण है
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के रूप में सामान्य समाधान?
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हल-
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प्रश्न 12.
निम्न में से किन अंतर समीकरणों में वाई y = x एक्स का विशेष समाधान है?
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हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 33

प्रश्नावली 9.4

1 से 10 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण को व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1
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हल-
दिया है,
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चरों को अलग-अलग करके समाकलन करने पर,
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प्रश्न 2
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हल-
दिया है,
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चरों का पृथक्करण करके समाकलन करने पर,
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जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 3.
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हल-
दिया है,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 40
चरों का पृथक्करण करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 41
जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 4.
sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
हल-
दिया है, sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 42
जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण (ex + e-x) dy – (ex – e-x)dx = 0 को हल कीजिए।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
(e+ e-x) dy – (ex – e-x) dx = 0 यी (ex + e-x) dy = (ex – e-x) dx
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 43

प्रश्न 6.
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हल-
दिया है,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 44
जोकि अभीष्ट हल है।
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प्रश्न 7.
y log y dx – x dy = 0
हल-
दिया है,
y log y dx – x dy = 0
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 46
जोकि अभीष्ट हल है।

प्रश्न 8.
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हल-
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प्रश्न 9.
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हल-
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11 से 14 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
(x3 + x2 + x + 1)\frac { dy }{ dx } = 2x² + x; y = 1 यदि x = 0
हल-
दिया है, (x3 + x2 + x + 1)\frac { dy }{ dx } = 2x² + x
या (x3 + x2 + x + 1) dy = (2x2 + x) dx
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प्रश्न 12.
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हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 56
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations

प्रश्न 13.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 58
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 59

प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15.
बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = ex sin x है।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण y’ = esin x
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प्रश्न 16.
अवकल समीकरण xy\frac { dy }{ dx } = (x + 2) (y + 2) के लिए बिन्दु (1,-1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया गया अवकल समीकरण, xy\frac { dy }{ dx } = (x + 2) (y + 2)
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 64

प्रश्न 17.
बिन्दु (0,-2) से होकर जाने वाले ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के y निर्देशांक का गुणनफल उस बिन्दु के x निर्देशांक के बराबर है।
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 65

प्रश्न 18.
एक वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता स्पर्श बिन्दु को बिन्दु (-4,-3) से मिलाने वाले रेखाखण्ड की प्रवणता की दुगुनी है। यदि यह वक्र बिन्दु (-2, 1) से गुजरता है तो इस वक़ की समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 66

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है, तो t सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल-
माना किसी समय ‘t’ पर गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है।
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 67UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 68

प्रश्न 20.
किसी बैंक में मूलधन में वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि Rs 100, 10 वर्षों में दुगुने हो जाते हैं, तो r को मान ज्ञात कीजिए। (loge2= 0.6931)
हल-
माना मूलधन P है, तब प्रश्नानुसार
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प्रश्न 21.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में Rs 1000 जमा कराए जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी?(e0.5 = 1.648)
हल-
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प्रश्न 22.
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घण्टों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी, यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनकी उपस्थित संख्या के समानुपाती हैं?
हल-
माना जीवाणु समूह की संख्या जब t = 0 है, 1,00,000 और किसी समय t पर N है।
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प्रश्न 23.
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हल-
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प्रश्नावली 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल सम्मकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए

प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²)dx
हल-
दिया गया समीकरण
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प्रश्न 2.
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हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 76
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प्रश्न 3.
(x – y)dy – (x + y)dx = 0
हल-
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प्रश्न 4.
(x² – y²) dx + 2xy dy = 0
हल-
दिया है, (x² – y²) dx + 2xy dy = 0
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प्रश्न 5.
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हल-
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प्रश्न 6.
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हल-
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प्रश्न 7.
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हल-
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प्रश्न 8.
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हल-
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प्रश्न 9.
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हल-
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प्रश्न 10.
(1 + ex/y)dx + ex/y(1 – x/y)dy = 0
हल-
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11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्धको सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण (x + y)dy + (x – y) dx = 0 का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 1 यदि x =1
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
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प्रश्न 12.
अवकल समीकरण x² dy + (xy + y²) dx = 0 का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 1 यदि x = 1
हल-
दिया गया अवकल समीकरण
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प्रश्न 13.
अवकल समीकरण
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का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y=\frac { \pi }{ 4 } यदि x = 1
हल-
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प्रश्न 14.
अवकल समीकरण
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का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 0 यदि x = 1
हल-
दिया हुआ अवकल समीकरण
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प्रश्न 15.
अवकल समीकरण
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 102
का विशेष हल ज्ञात कीजिए जबकि y = 2 यदि x = 1

प्रश्न 16.
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हल-
(c) x = vy

प्रश्न 17.
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हल-
(d)

प्रश्नावली 9.6

1 से 12 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations image 105
हल-
दी गई अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है।
P = 2 तथा Q = sin x
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 9 Differential Equations 106

प्रश्न 2.

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हल-
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प्रश्न 3.
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हल-
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प्रश्न 4
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
दी गई अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण है।
P = sec x ,Q = tan x
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प्रश्न 5.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 6.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 7.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 8.
अवकल समीकरण (1+x²)dy + 2xy dx = cotx dx ,(x≠0) का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 9.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 10.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 11.
अवकल समीकरण y dx + (x – y²)dy = 0 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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प्रश्न 12.
अवकल समीकरण
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का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल-
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13 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्धको सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हुल ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 13.
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हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15.
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हल-
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प्रश्न 16.
मूल विन्दु से होकर जाने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
हल-
माना दिया गया वक्र y = f(x) है,
तब प्रश्नानुसार \frac { dy }{ dx }=x+y
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प्रश्न 17.
विन्दु 0, 2) से होकर जाने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी विन्दुके निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।
हल-
माना दिया गया वक्र y = f(x) है।
तब प्रश्नानुसार x+y=\frac { dy }{ dx }+5
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प्रश्न 18.
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हल-
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प्रश्न 19.
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हल-
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