UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability

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Board UP Board
Textbook NCERT
Class Class 12
Subject Maths
Chapter Chapter 5
Chapter Name Continuity and Differentiability
Exercise Ex 5.1, Ex 5.2, Ex 5.3, Ex 5.4, Ex 5.5, Ex 5.6, Ex 5.7, Ex 5.8
Number of Questions Solved 121
Category UP Board Solutions

UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability

प्रश्नावली 5.1

UP Board Class 12 Math Solution Chapter 5 प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x – 3, x = 0, x = – 3 तथा x = 5 पर संतत है।
हल-
यहाँ, f(x) = 5x – 3
UP Board Class 12 Math Solution Chapter 5 Continuity And Differentiability
(iii) उपरोक्त की भाँति स्वयं हल कीजिए।
नोट-चूँकि दिया गया फलन f(x) = 5x – 3 बहुपद है।
∴ यह ∀ x ∈ R के लिए संतत है।

UP Board Class 12 Math Chapter 5 प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
हल-
यहाँ, f(x) = 2x -1
UP Board Class 12 Math Chapter 5 Continuity And Differentiability
अतः x = 3 पर f संतत है।

 

सांतत्य तथा अवकलनीयता प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए
सांतत्य तथा अवकलनीयता UP Board Class 12 Maths Chapter 5 Continuity And Differentiability
हल-
(a) f(x) = x – 5
∵ (x – 5) एक बहुपद है।
अत: प्रत्येक बिन्दु x∈R पर f संतत है।
सांतत्य तथा अवकलनीयता In English Class 12 Maths Chapter 5 Continuity And Differentiability
निरंतरता और Differentiability Class 12 Maths Chapter 5 Continuity And Differentiability

सांतत्य तथा अवकलनीयता In English प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णाक है।
हल-
दिया है- f(x) = xn एक बहुपदीय फलन है।
संतत है, यदि x ∈ R तथा x ∈ N
यहाँ x = n एक पूर्णांक है।
अत: f(x) = xn संतत फलन है।

निरंतरता और Differentiability प्रश्न 5.
Class 12 Maths Chapter 5 Solutions Continuity And Differentiability UP Board
हल-
x = 0 तथा x = 2 पर फलन एक बहुपद है।
अतः x = 0 तथा x = 2 पर फलन सतत है।
x = 1 पर, f(x) = x, x<1 के लिए, f(x) = 5, x>1 के लिए
Chapter 5 Maths Class 12 Solutions Continuity And Differentiability UP Board

प्रश्न 6.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
UP Board Solution 12 Math Chapter 5 Continuity And Differentiability
हल-
Class 12 Maths Chapter 5 Solution Continuity And Differentiability

Class 12 Maths Chapter 5 Solutions प्रश्न 7.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
Class 12th Maths Chapter 5 Solution Continuity And Differentiability
हल-
Chapter 5 Maths Class 12 Continuity And Differentiability UP Board
UP Board Solution Class 12 Math Continuity And Differentiability
Continuity And Differentiability Class 12 Chapter 5 UP Board

Chapter 5 Maths Class 12 Solutions  प्रश्न 8.

f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
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हल-
UP Board Solution Class 12th Math Continuity And Differentiability

प्रश्न 9.
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हल-
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UP Board Solution 12 Math प्रश्न 10.
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हल-
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Class 12 Maths Chapter 5 Solution प्रश्न 11.
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हल-
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Class 12 Math Chapter 5 Solution प्रश्न 12.
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हल-
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Class 12th Maths Chapter 5 Solution प्रश्न 13.
क्या
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द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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Chapter 5 Maths Class 12 प्रश्न 15.
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हल-
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UP Board Solution Class 12 Math प्रश्न 16.
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हल-
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Continuity And Differentiability Class 12 प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए
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द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
हल-
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स्वेच्छा से b के मान के लिए a का मान ज्ञात किया जा सकता हैं।

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए।
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यदि x = 0 द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-
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UP Board Solution Class 12th Math प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णाक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक निरूपित करता है, जो x के बराबर अथवी x से कम है।
हल-
x = c पूर्णांक पर, g(x) = x – [x]
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अतः x = c पूर्णाक पर, f संतत नहीं है।

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
हल-
माना
f(x) = x² – sin x + 5
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प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए
(a) f(x) = sin x + cos x
(b) f(x) = sin x – cos x
(c) f(x) = sin x.cos x
हल-
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प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-
(a) माना f(x) = cos x
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प्रश्न 23.
f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ
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हल-
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प्रश्न 24.
निम्न प्रकार से परिभाषित फलन की सातत्यता की जाँच x = 0 पर कीजिए
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हल-
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प्रश्न 25.
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हल-
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प्रश्न 26.
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हल-
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प्रश्न 27.
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द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर।
हल-
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प्रश्न 28.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन
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द्वारा परिभाषित फलन x = π पर सतत् है।
हल-
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प्रश्न 29.
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द्वारा परिभाषित फलने x = 5 पर।
हल-
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प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि
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द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
हल-
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प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) = cos x² द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = cos x²
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f(c) = cos c²
अत: f(x) = cos x² एक संतत फलन है। इति सिद्धम्

 

प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) =| cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = | cos x|
माना x = c ∈ R पर,
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f(c) = | cos c|
अतः x = c ∈ R पर F एक संतत फलन है।। इति सिद्धम्

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin|x| एक संतत फलन है।
हल-
माना f(x) = sin | x|
x = c ∈ R पर,
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f(c) = sin|c|
अतः x = c ∈ R पर f एक संतते फलन है।।

प्रश्न 34.
f(x) = |x|-|x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
हल-
ज्ञात है- f(x) = |x|-|x +1|
f(x) = – x -[-(x + 1)] जब x< – 1]
= -x + x + 1 = 1
f(x) = – x – (x + 1), [जब – 1≤ x < 0]
= – x – x – 1
= – 2x – 1
f(x) = x – (x + 1), जब x≥ 0
= x – x – 1 = -1
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प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
sin(x²+5)
हल-
माना y = sin(x²+5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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= cos (x² + 5) (2x + 0)
= 2x cos (x² + 5)

 

प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल-
माना y = cos (sin x)
माना sin x = t
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \frac { dt }{ dx }=cosx
∴ y = cos t से,
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने
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= – sin t cos x = -sin (sin x)cos x

प्रश्न 3.
sin (ax+b)
हल-
माना y = sin (ax + b)
ax+ b = t रखने पर, y = sin t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4.
sec (tan√x)
हल-
माना y = sec (tan (√x))
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) }
हल-
माना y=\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) } …(1)
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प्रश्न 6.
cos x3.sin2 x5
हल-
माना y = cos x3.sin2 x5
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7.
2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) }
हल-
माना 2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) }
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प्रश्न 8.
cos(√x)
हल-
माना y = cos(√x) ….(1)
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) =|x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल-
दिया है- f (x) = |x – 1| x∈R
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R.H.D. ≠ L.H.D.
अत: x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णाक फलन f(x) = [x],0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल-
ज्ञात है, f(x) = [x]
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प्रश्नावली 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1
2x + 3y = sinx
हल-
ज्ञात है, 2x + 3y = sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2
2x + 3y = siny
हल-
दिया है- 2x + 3y = siny
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3
ax + by² = cosy
हल-
ज्ञात है- ax + by² = cosy
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4
xy + y² = tan x + y
हल-
दिया है xy + y² = tan x + y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5
x² + xy + y² = 100
हल-
दिया है x² + xy + y² = 100
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6
x3 + x²y + xy² + y3 = 81
हल-
दिया है x3 + x²y + xy² + y3 = 81
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7
sin² y + cos xy = k
हल-
दिया है sin² y + cos xy = k
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8
sin² x + cos² y = 1
हल-
दिया है sin² x + cos² y = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
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हल-
दिया है-
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11.
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हल-
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प्रश्न 12.
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हल-
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प्रश्न 13.
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हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15.
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हल-
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प्रश्नावली 5.4

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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UP Board Solutions

प्रश्न 2
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4
sin(tan-1 ex)
हल-
माना sin(tan-1 ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5
log(cos ex)
हल-
माना log(cos ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8
log(log x), x>1
हल-
माना log(log x), x>1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 10
cos(log x + ex)
हल-
माना cos(log x + ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्नावली 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

 

प्रश्न 1.
cos x.cos 2x.cos 3x
हल-
माना y = cos x. cos 2x. cos 3x …(1)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
logy = log (cos x. cos2x. cos 3x)
= log cos x + log cos 2 x + log cos 3x
[∵ log m.n = log m + log n]
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2.
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हल-
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प्रश्न 3.
(log x)cos x
हल-
माना y = (log x)cos x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log (log x)cos x = cos x log (log x), [∵log mn = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4.
xx – 2sin x
हल-
माना y = xx – 2sin x
पुनः माना u = xx, v = 2sin x
y = u – v
u = xx
से दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर, log u = log xx = x log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
(x + 3)2 .(x + 4)3 .(x + 5)4
हल-
माना y = (x + 3)2 .(x + 4)3 .(x + 5)4
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)2 .(x + 4)3 (x + 5)4]
= log (x + 3)2 + log (x + 4)3 + log (x + 5)4
[∵ log mn = log m + log n]
= 2 log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5)
[∵ log mn = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6.
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हल-
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प्रश्न 7.
(log x)x + xlog x
हल-
माना y = (log x)x + xlog x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
(sin x)x + sin-1√x
हल-
माना y = (sin x)x + sin-1√x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
xsin x + (sin x)cos x
हल-
माना xsin x + (sin x)cos x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11.
(x cos x)x + (xsin x)1/x
हल-
माना y = (x cos x)x + (x sin x)1/x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 12.
xy + yx = 1
हल-
दिया है, ∵ xy + yx = 1
माना u = xy, v = yx ∵ u + v = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 13.
yx = xy
हल-
दिया है, yx = xy
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log yx = log xy
x log y = y log x
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 14.
(cos x)y = (cos y)x
हल-
दिया है, (cos x)y = (cos y)x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log (cos x)y = log (cos y)x या y log cos x = x log cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 15.
xy = e(x-y)
हल-
दिया है, xy = e(x-y)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
log (xy) = log e(x-y)
या log x + log y = (x – y) loge e [∵ log xy = log x + log y]
या log x + log y = x – y [∵ loge = 1]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log f (x) = log [(1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)]
या log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x2) + log (1 + x4) + log (1 + x8)
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प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x3 + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
हल-
(i) गुणनफल नियम के प्रयोग द्वारा ।
माना y = (x2 – 5x + 8). (x3 + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 18.
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि ।
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हल-
(i) माना y = u . v . w = u. (v. w)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्नावली 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में तथाy के लिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
x = 2at2, y = at4
हल-
दिया है, x = 2at2 तथा y = at4
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2.
x = a cos θ, y = b cos θ
हल-
दिया है : x = a cos θ तथा y = b cos θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3.
x = sin t, y = cos 2t
हल-
दिया है, x = sin t तथा y = cos 2t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\frac { dx }{ dt }=cost
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प्रश्न 4.
x = 4t, y=\frac { 4 }{ t }
हल-
दिया है, x = 4t तथा y=\frac { 4 }{ t }
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
हल-
दिया है, x = cosθ – cos 2θ तथा y = sin θ – sin 2θ
x = cos θ – cos 2θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6.
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cosθ)
हल-
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प्रश्न 7
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हल-
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प्रश्न 8
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हल-
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प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
हल-
दिया है, x = a sec θ तथा y = b tan θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 10.
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a(sin θ – θcos θ)
हल-
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प्रश्न 11.
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हल-
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प्रश्नावली 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल-
माना y = x² + 3x + 2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \frac { dy }{ dx }=2x+3
दोनों पक्षों का पुन: x में सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2.
x20
हल-
माना y = x20
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3.
x cos x
हल-
माना y = x cos x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4.
log x
हल-
माना y = log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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दोनों पक्षों को पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x3 log x
हल-
माना y = x3 log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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= 2x + 3x + 6x log x
= 5x + 6x log x
= x (5 + 6 log x)

प्रश्न 6.
ex sin 5x
हल-
माना y = ex sin 5x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7.
e6x cos 3x
हल-
माना y = e6x cos 3x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
tan-1x
हल-
माना y = tan-1x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
log (log x)
हल-
माना y = log (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 10.
sin (log x)
हल-
माना y = sin (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 11.
यदि y = 5 cos x – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि
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हल-
दिया है, y = 5 cos x – 3 sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 12.
यदि y = cos-1 x है तो \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, y = cos-1 x
⇒ x = cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 13.
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हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15
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हल-
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प्रश्न 16
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हल-
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प्रश्न 17
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हल-
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प्रश्नावली 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x∈[-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल-
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प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x) = [x] के लिए x∈[-2,2]
(ii) f(x) = x² – 1 के लिए x∈[1,2]
हल-
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) = [x], x∈[-2, 2]
f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = (x² – 1), x∈[1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0,
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
चूँकि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f :[-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f ‘ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5).
हल-
दिया है, f:[-5, 5]→ R
f संतत है तथा अवकलनीय है लेकिन f” (x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है
(i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
f ‘(c) = 0 c ∈(a, b)
f ‘(c) ≠ 0
⇒ f(a) ≠ f(b)
f(- 5) ≠ f(5) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और  b = 4 है।
हल-
दिया है, (x) = x² – 4x – 3,[1,4] अन्तराल के लिए f एक बहुपदीय व्यंजक है। यह 1,4 में संतत तथा (1, 4) में अवकलनीय दोनों है।
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प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f ‘(c) = 0 के लिए c∈(1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3] में f संतत है और (1, 3) में अवकलनीय है क्योकि यह बहुपदीय है।
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प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल-
(i) f(x) = [x],
x∈[5,9]
दिये हुए अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii)
f(x) =[x], x ∈[-2, 2 ]
दिये हुए अन्तराल [-2, 2] में f बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = x² – 1, x ∈[1, 2]
यह एक बहुपदीय फलन है। यह अन्तराल [1,2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।
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We hope the UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता) help you. If you have any query regarding UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability (सांतत्य तथा अवकलनीयता), drop a comment below and we will get back to you at the earliest.प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x – 3, x = 0, x = – 3 तथा x = 5 पर संतत है।
हल-
यहाँ, f(x) = 5x – 3
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(iii) उपरोक्त की भाँति स्वयं हल कीजिए।
नोट-चूँकि दिया गया फलन f(x) = 5x – 3 बहुपद है।
∴ यह ∀ x ∈ R के लिए संतत है।

प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
हल-
यहाँ, f(x) = 2x -1
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अतः x = 3 पर f संतत है।

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प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए
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हल-
(a) f(x) = x – 5
∵ (x – 5) एक बहुपद है।
अत: प्रत्येक बिन्दु x∈R पर f संतत है।
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प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णाक है।
हल-
दिया है- f(x) = xn एक बहुपदीय फलन है।
संतत है, यदि x ∈ R तथा x ∈ N
यहाँ x = n एक पूर्णांक है।
अत: f(x) = xn संतत फलन है।

प्रश्न 5.
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हल-
x = 0 तथा x = 2 पर फलन एक बहुपद है।
अतः x = 0 तथा x = 2 पर फलन सतत है।
x = 1 पर, f(x) = x, x<1 के लिए, f(x) = 5, x>1 के लिए
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प्रश्न 6.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
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हल-
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प्रश्न 7.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
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हल-
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प्रश्न 8.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
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हल-
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प्रश्न 9.
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हल-
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11.
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हल-
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प्रश्न 12.
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हल-
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प्रश्न 13.
क्या
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द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15.
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हल-
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प्रश्न 16.
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हल-
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प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए
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द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
हल-
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स्वेच्छा से b के मान के लिए a का मान ज्ञात किया जा सकता हैं।

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए।
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यदि x = 0 द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-
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प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णाक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक निरूपित करता है, जो x के बराबर अथवी x से कम है।
हल-
x = c पूर्णांक पर, g(x) = x – [x]
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अतः x = c पूर्णाक पर, f संतत नहीं है।

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
हल-
माना
f(x) = x² – sin x + 5
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प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए
(a) f(x) = sin x + cos x
(b) f(x) = sin x – cos x
(c) f(x) = sin x.cos x
हल-
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प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-
(a) माना f(x) = cos x
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प्रश्न 23.
f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ
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हल-
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प्रश्न 24.
निम्न प्रकार से परिभाषित फलन की सातत्यता की जाँच x = 0 पर कीजिए
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हल-
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प्रश्न 25.
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हल-
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प्रश्न 26.
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हल-
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प्रश्न 27.
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द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर।
हल-
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प्रश्न 28.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन
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द्वारा परिभाषित फलन x = π पर सतत् है।
हल-
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प्रश्न 29.
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द्वारा परिभाषित फलने x = 5 पर।
हल-
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प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि
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द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
हल-
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प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) = cos x² द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = cos x²
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f(c) = cos c²
अत: f(x) = cos x² एक संतत फलन है। इति सिद्धम्

 

प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) =| cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = | cos x|
माना x = c ∈ R पर,
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f(c) = | cos c|
अतः x = c ∈ R पर F एक संतत फलन है।। इति सिद्धम्

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin|x| एक संतत फलन है।
हल-
माना f(x) = sin | x|
x = c ∈ R पर,
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f(c) = sin|c|
अतः x = c ∈ R पर f एक संतते फलन है।।

प्रश्न 34.
f(x) = |x|-|x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
हल-
ज्ञात है- f(x) = |x|-|x +1|
f(x) = – x -[-(x + 1)] जब x< – 1]
= -x + x + 1 = 1
f(x) = – x – (x + 1), [जब – 1≤ x < 0]
= – x – x – 1
= – 2x – 1
f(x) = x – (x + 1), जब x≥ 0
= x – x – 1 = -1
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प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
sin(x²+5)
हल-
माना y = sin(x²+5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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= cos (x² + 5) (2x + 0)
= 2x cos (x² + 5)

 

प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल-
माना y = cos (sin x)
माना sin x = t
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \frac { dt }{ dx }=cosx
∴ y = cos t से,
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 73
= – sin t cos x = -sin (sin x)cos x

प्रश्न 3.
sin (ax+b)
हल-
माना y = sin (ax + b)
ax+ b = t रखने पर, y = sin t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 74

 

प्रश्न 4.
sec (tan√x)
हल-
माना y = sec (tan (√x))
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) }
हल-
माना y=\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) } …(1)
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प्रश्न 6.
cos x3.sin2 x5
हल-
माना y = cos x3.sin2 x5
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7.
2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) }
हल-
माना 2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) }
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प्रश्न 8.
cos(√x)
हल-
माना y = cos(√x) ….(1)
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) =|x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल-
दिया है- f (x) = |x – 1| x∈R
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R.H.D. ≠ L.H.D.
अत: x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णाक फलन f(x) = [x],0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल-
ज्ञात है, f(x) = [x]
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प्रश्नावली 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1
2x + 3y = sinx
हल-
ज्ञात है, 2x + 3y = sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2
2x + 3y = siny
हल-
दिया है- 2x + 3y = siny
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 83

प्रश्न 3
ax + by² = cosy
हल-
ज्ञात है- ax + by² = cosy
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 84

प्रश्न 4
xy + y² = tan x + y
हल-
दिया है xy + y² = tan x + y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 85
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 86

प्रश्न 5
x² + xy + y² = 100
हल-
दिया है x² + xy + y² = 100
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 87

प्रश्न 6
x3 + x²y + xy² + y3 = 81
हल-
दिया है x3 + x²y + xy² + y3 = 81
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 88

प्रश्न 7
sin² y + cos xy = k
हल-
दिया है sin² y + cos xy = k
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 89UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 90

प्रश्न 8
sin² x + cos² y = 1
हल-
दिया है sin² x + cos² y = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 92
हल-
दिया है-
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11.
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हल-
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प्रश्न 12.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 98
हल-
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प्रश्न 13.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 100
हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 104

प्रश्न 15.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 105
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 106

प्रश्नावली 5.4

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 107
हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 110

प्रश्न 3
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 111
हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 112

प्रश्न 4
sin(tan-1 ex)
हल-
माना sin(tan-1 ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 113

प्रश्न 5
log(cos ex)
हल-
माना log(cos ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 115
हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 117
हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8
log(log x), x>1
हल-
माना log(log x), x>1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 120
हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 10
cos(log x + ex)
हल-
माना cos(log x + ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्नावली 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

 

प्रश्न 1.
cos x.cos 2x.cos 3x
हल-
माना y = cos x. cos 2x. cos 3x …(1)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
logy = log (cos x. cos2x. cos 3x)
= log cos x + log cos 2 x + log cos 3x
[∵ log m.n = log m + log n]
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2.
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हल-
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प्रश्न 3.
(log x)cos x
हल-
माना y = (log x)cos x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log (log x)cos x = cos x log (log x), [∵log mn = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4.
xx – 2sin x
हल-
माना y = xx – 2sin x
पुनः माना u = xx, v = 2sin x
y = u – v
u = xx
से दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर, log u = log xx = x log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
(x + 3)2 .(x + 4)3 .(x + 5)4
हल-
माना y = (x + 3)2 .(x + 4)3 .(x + 5)4
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)2 .(x + 4)3 (x + 5)4]
= log (x + 3)2 + log (x + 4)3 + log (x + 5)4
[∵ log mn = log m + log n]
= 2 log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5)
[∵ log mn = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6.
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हल-
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प्रश्न 7.
(log x)x + xlog x
हल-
माना y = (log x)x + xlog x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 134
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 135

प्रश्न 8.
(sin x)x + sin-1√x
हल-
माना y = (sin x)x + sin-1√x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 136
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 137

प्रश्न 9.
xsin x + (sin x)cos x
हल-
माना xsin x + (sin x)cos x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 139UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 138
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 139

 

प्रश्न 10.
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हल-
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UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 142
प्रश्न 11.
(x cos x)x + (xsin x)1/x
हल-
माना y = (x cos x)x + (x sin x)1/x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 143
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प्रश्न 12.
xy + yx = 1
हल-
दिया है, ∵ xy + yx = 1
माना u = xy, v = yx ∵ u + v = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 13.
yx = xy
हल-
दिया है, yx = xy
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log yx = log xy
x log y = y log x
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 14.
(cos x)y = (cos y)x
हल-
दिया है, (cos x)y = (cos y)x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log (cos x)y = log (cos y)x या y log cos x = x log cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 148

प्रश्न 15.
xy = e(x-y)
हल-
दिया है, xy = e(x-y)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
log (xy) = log e(x-y)
या log x + log y = (x – y) loge e [∵ log xy = log x + log y]
या log x + log y = x – y [∵ loge = 1]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 149

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log f (x) = log [(1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)]
या log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x2) + log (1 + x4) + log (1 + x8)
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 150

प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x3 + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
हल-
(i) गुणनफल नियम के प्रयोग द्वारा ।
माना y = (x2 – 5x + 8). (x3 + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 153

 

प्रश्न 18.
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि ।
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 154
हल-
(i) माना y = u . v . w = u. (v. w)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्नावली 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में तथाy के लिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
x = 2at2, y = at4
हल-
दिया है, x = 2at2 तथा y = at4
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 156

प्रश्न 2.
x = a cos θ, y = b cos θ
हल-
दिया है : x = a cos θ तथा y = b cos θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3.
x = sin t, y = cos 2t
हल-
दिया है, x = sin t तथा y = cos 2t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\frac { dx }{ dt }=cost
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प्रश्न 4.
x = 4t, y=\frac { 4 }{ t }
हल-
दिया है, x = 4t तथा y=\frac { 4 }{ t }
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 159

प्रश्न 5.
x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
हल-
दिया है, x = cosθ – cos 2θ तथा y = sin θ – sin 2θ
x = cos θ – cos 2θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6.
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cosθ)
हल-
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प्रश्न 7
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हल-
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प्रश्न 8
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 167
हल-
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UP Board Solutions

प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
हल-
दिया है, x = a sec θ तथा y = b tan θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 169

प्रश्न 10.
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a(sin θ – θcos θ)
हल-
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प्रश्न 11.
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 171
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 172

प्रश्नावली 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल-
माना y = x² + 3x + 2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \frac { dy }{ dx }=2x+3
दोनों पक्षों का पुन: x में सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2.
x20
हल-
माना y = x20
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 174

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प्रश्न 3.
x cos x
हल-
माना y = x cos x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4.
log x
हल-
माना y = log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 177
दोनों पक्षों को पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x3 log x
हल-
माना y = x3 log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 178
= 2x + 3x + 6x log x
= 5x + 6x log x
= x (5 + 6 log x)

प्रश्न 6.
ex sin 5x
हल-
माना y = ex sin 5x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7.
e6x cos 3x
हल-
माना y = e6x cos 3x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
tan-1x
हल-
माना y = tan-1x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
log (log x)
हल-
माना y = log (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 183

प्रश्न 10.
sin (log x)
हल-
माना y = sin (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 184

प्रश्न 11.
यदि y = 5 cos x – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि
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हल-
दिया है, y = 5 cos x – 3 sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 186

प्रश्न 12.
यदि y = cos-1 x है तो \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, y = cos-1 x
⇒ x = cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 187

प्रश्न 13.
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हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 191
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प्रश्न 15
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 193
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 194

प्रश्न 16
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हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 196

प्रश्न 17
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 197
हल-
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UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 199

प्रश्नावली 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x∈[-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल-
UP Board Solutions for Class 12 Maths Chapter 5 Continuity and Differentiability image 200

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प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x) = [x] के लिए x∈[-2,2]
(ii) f(x) = x² – 1 के लिए x∈[1,2]
हल-
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) = [x], x∈[-2, 2]
f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = (x² – 1), x∈[1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0,
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
चूँकि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f :[-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f ‘ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5).
हल-
दिया है, f:[-5, 5]→ R
f संतत है तथा अवकलनीय है लेकिन f” (x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है
(i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
f ‘(c) = 0 c ∈(a, b)
f ‘(c) ≠ 0
⇒ f(a) ≠ f(b)
f(- 5) ≠ f(5) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और  b = 4 है।
हल-
दिया है, (x) = x² – 4x – 3,[1,4] अन्तराल के लिए f एक बहुपदीय व्यंजक है। यह 1,4 में संतत तथा (1, 4) में अवकलनीय दोनों है।
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प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f ‘(c) = 0 के लिए c∈(1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3] में f संतत है और (1, 3) में अवकलनीय है क्योकि यह बहुपदीय है।
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प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल-
(i) f(x) = [x],
x∈[5,9]
दिये हुए अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii)
f(x) =[x], x ∈[-2, 2 ]
दिये हुए अन्तराल [-2, 2] में f बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = x² – 1, x ∈[1, 2]
यह एक बहुपदीय फलन है। यह अन्तराल [1,2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।
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सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = 5x – 3, x = 0, x = – 3 तथा x = 5 पर संतत है।
हल-
यहाँ, f(x) = 5x – 3
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(iii) उपरोक्त की भाँति स्वयं हल कीजिए।
नोट-चूँकि दिया गया फलन f(x) = 5x – 3 बहुपद है।
∴ यह ∀ x ∈ R के लिए संतत है।

प्रश्न 2.
x = 3 पर फलन f(x) = 2x² – 1 के सातत्य की जाँच कीजिए।
हल-
यहाँ, f(x) = 2x -1
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अतः x = 3 पर f संतत है।

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प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए
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हल-
(a) f(x) = x – 5
∵ (x – 5) एक बहुपद है।
अत: प्रत्येक बिन्दु x∈R पर f संतत है।
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प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = xn, x = n पर संतत है, जहाँ n एक धन पूर्णाक है।
हल-
दिया है- f(x) = xn एक बहुपदीय फलन है।
संतत है, यदि x ∈ R तथा x ∈ N
यहाँ x = n एक पूर्णांक है।
अत: f(x) = xn संतत फलन है।

प्रश्न 5.
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हल-
x = 0 तथा x = 2 पर फलन एक बहुपद है।
अतः x = 0 तथा x = 2 पर फलन सतत है।
x = 1 पर, f(x) = x, x<1 के लिए, f(x) = 5, x>1 के लिए
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प्रश्न 6.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
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हल-
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प्रश्न 7.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
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हल-
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प्रश्न 8.
f के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है।
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हल-
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प्रश्न 9.
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हल-
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11.
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हल-
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प्रश्न 12.
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हल-
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प्रश्न 13.
क्या
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द्वारा परिभाषित फलन, एक संतत फलन है?
हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15.
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हल-
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प्रश्न 16.
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हल-
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प्रश्न 17.
a और b के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए
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द्वारा परिभाषित फलन x = 3 पर संतत है।
हल-
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स्वेच्छा से b के मान के लिए a का मान ज्ञात किया जा सकता हैं।

प्रश्न 18.
λ के किस मान के लिए।
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यदि x = 0 द्वारा परिभाषित फलन x = 0 पर संतत है। x = 1 पर इसके सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-
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प्रश्न 19.
दर्शाइए कि g(x) = x – [x] द्वारा परिभाषित फलन समस्त पूर्णाक बिन्दुओं पर असंतत है। यहाँ [x] उस महत्तम पूर्णांक निरूपित करता है, जो x के बराबर अथवी x से कम है।
हल-
x = c पूर्णांक पर, g(x) = x – [x]
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अतः x = c पूर्णाक पर, f संतत नहीं है।

प्रश्न 20.
क्या f(x) = x² – sin x + 5 द्वारा परिभाषित फलन x = π पर संतत है?
हल-
माना
f(x) = x² – sin x + 5
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प्रश्न 21.
निम्नलिखित फलनों के सांतत्य पर विचार कीजिए
(a) f(x) = sin x + cos x
(b) f(x) = sin x – cos x
(c) f(x) = sin x.cos x
हल-
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प्रश्न 22.
cosine, cosecant, secant और cotangent फलनों के सातत्य पर विचार कीजिए।
हल-
(a) माना f(x) = cos x
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प्रश्न 23.
f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जहाँ
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हल-
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प्रश्न 24.
निम्न प्रकार से परिभाषित फलन की सातत्यता की जाँच x = 0 पर कीजिए
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हल-
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प्रश्न 25.
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हल-
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प्रश्न 26.
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हल-
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प्रश्न 27.
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द्वारा परिभाषित फलन x = 2 पर।
हल-
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प्रश्न 28.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन
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द्वारा परिभाषित फलन x = π पर सतत् है।
हल-
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प्रश्न 29.
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द्वारा परिभाषित फलने x = 5 पर।
हल-
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प्रश्न 30.
a तथा b के मानों को ज्ञात कीजिए ताकि
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द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन हो।
हल-
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प्रश्न 31.
दर्शाइए कि f(x) = cos x² द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = cos x²
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f(c) = cos c²
अत: f(x) = cos x² एक संतत फलन है। इति सिद्धम्

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प्रश्न 32.
दर्शाइए कि f(x) =| cos x| द्वारा परिभाषित फलन एक संतत फलन है।
हल-
ज्ञात है- f(x) = | cos x|
माना x = c ∈ R पर,
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f(c) = | cos c|
अतः x = c ∈ R पर F एक संतत फलन है।। इति सिद्धम्

प्रश्न 33.
जाँचिए कि क्या sin|x| एक संतत फलन है।
हल-
माना f(x) = sin | x|
x = c ∈ R पर,
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f(c) = sin|c|
अतः x = c ∈ R पर f एक संतते फलन है।।

प्रश्न 34.
f(x) = |x|-|x + 1| द्वारा परिभाषित फलन f के सभी असातत्यता के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए।
हल-
ज्ञात है- f(x) = |x|-|x +1|
f(x) = – x -[-(x + 1)] जब x< – 1]
= -x + x + 1 = 1
f(x) = – x – (x + 1), [जब – 1≤ x < 0]
= – x – x – 1
= – 2x – 1
f(x) = x – (x + 1), जब x≥ 0
= x – x – 1 = -1
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प्रश्नावली 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
sin(x²+5)
हल-
माना y = sin(x²+5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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= cos (x² + 5) (2x + 0)
= 2x cos (x² + 5)

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प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल-
माना y = cos (sin x)
माना sin x = t
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \frac { dt }{ dx }=cosx
∴ y = cos t से,
दोनों पक्षों का t के सापेक्ष अवकलन करने
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= – sin t cos x = -sin (sin x)cos x

प्रश्न 3.
sin (ax+b)
हल-
माना y = sin (ax + b)
ax+ b = t रखने पर, y = sin t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4.
sec (tan√x)
हल-
माना y = sec (tan (√x))
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) }
हल-
माना y=\frac { sin(ax+b) }{ cos(cx+d) } …(1)
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प्रश्न 6.
cos x3.sin2 x5
हल-
माना y = cos x3.sin2 x5
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7.
2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) }
हल-
माना 2\sqrt { cot\left( { x }^{ 2 } \right) }
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प्रश्न 8.
cos(√x)
हल-
माना y = cos(√x) ….(1)
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) =|x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल-
दिया है- f (x) = |x – 1| x∈R
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R.H.D. ≠ L.H.D.
अत: x = 1 पर f अवकलनीय नहीं है। इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णाक फलन f(x) = [x],0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल-
ज्ञात है, f(x) = [x]
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प्रश्नावली 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1
2x + 3y = sinx
हल-
ज्ञात है, 2x + 3y = sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2
2x + 3y = siny
हल-
दिया है- 2x + 3y = siny
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3
ax + by² = cosy
हल-
ज्ञात है- ax + by² = cosy
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4
xy + y² = tan x + y
हल-
दिया है xy + y² = tan x + y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5
x² + xy + y² = 100
हल-
दिया है x² + xy + y² = 100
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6
x3 + x²y + xy² + y3 = 81
हल-
दिया है x3 + x²y + xy² + y3 = 81
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7
sin² y + cos xy = k
हल-
दिया है sin² y + cos xy = k
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8
sin² x + cos² y = 1
हल-
दिया है sin² x + cos² y = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
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हल-
दिया है-
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11.
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हल-
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प्रश्न 12.
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हल-
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प्रश्न 13.
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हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15.
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हल-
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प्रश्नावली 5.4

निम्नलिखित का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4
sin(tan-1 ex)
हल-
माना sin(tan-1 ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5
log(cos ex)
हल-
माना log(cos ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8
log(log x), x>1
हल-
माना log(log x), x>1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9
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हल-
माना
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दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 10
cos(log x + ex)
हल-
माना cos(log x + ex)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्नावली 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए

प्रश्न 1.
cos x.cos 2x.cos 3x
हल-
माना y = cos x. cos 2x. cos 3x …(1)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
logy = log (cos x. cos2x. cos 3x)
= log cos x + log cos 2 x + log cos 3x
[∵ log m.n = log m + log n]
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2.
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हल-
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प्रश्न 3.
(log x)cos x
हल-
माना y = (log x)cos x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log (log x)cos x = cos x log (log x), [∵log mn = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4.
xx – 2sin x
हल-
माना y = xx – 2sin x
पुनः माना u = xx, v = 2sin x
y = u – v
u = xx
से दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर, log u = log xx = x log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
(x + 3)2 .(x + 4)3 .(x + 5)4
हल-
माना y = (x + 3)2 .(x + 4)3 .(x + 5)4
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)2 .(x + 4)3 (x + 5)4]
= log (x + 3)2 + log (x + 4)3 + log (x + 5)4
[∵ log mn = log m + log n]
= 2 log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5)
[∵ log mn = n log m]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6.
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हल-
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प्रश्न 7.
(log x)x + xlog x
हल-
माना y = (log x)x + xlog x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
(sin x)x + sin-1√x
हल-
माना y = (sin x)x + sin-1√x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
xsin x + (sin x)cos x
हल-
माना xsin x + (sin x)cos x
पुनः माना y = u + v
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 10.
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हल-
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प्रश्न 11.
(x cos x)x + (xsin x)1/x
हल-
माना y = (x cos x)x + (x sin x)1/x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 12.
xy + yx = 1
हल-
दिया है, ∵ xy + yx = 1
माना u = xy, v = yx ∵ u + v = 1
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 13.
yx = xy
हल-
दिया है, yx = xy
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर, log yx = log xy
x log y = y log x
दोनों पक्षों में x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 14.
(cos x)y = (cos y)x
हल-
दिया है, (cos x)y = (cos y)x
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log (cos x)y = log (cos y)x या y log cos x = x log cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 15.
xy = e(x-y)
हल-
दिया है, xy = e(x-y)
दोनों पक्षों को लघुगणक लेने पर,
log (xy) = log e(x-y)
या log x + log y = (x – y) loge e [∵ log xy = log x + log y]
या log x + log y = x – y [∵ loge = 1]
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f'(1) ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = (1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,
log f (x) = log [(1 + x) (1 + x2) (1 + x4) (1 + x8)]
या log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x2) + log (1 + x4) + log (1 + x8)
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प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x3 + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा
यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान हैं।
हल-
(i) गुणनफल नियम के प्रयोग द्वारा ।
माना y = (x2 – 5x + 8). (x3 + 7x + 9)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 18.
यदि u, v और w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि ।
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हल-
(i) माना y = u . v . w = u. (v. w)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्नावली 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में तथाy के लिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना \frac { dy }{ dx } ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
x = 2at2, y = at4
हल-
दिया है, x = 2at2 तथा y = at4
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2.
x = a cos θ, y = b cos θ
हल-
दिया है : x = a cos θ तथा y = b cos θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3.
x = sin t, y = cos 2t
हल-
दिया है, x = sin t तथा y = cos 2t
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\frac { dx }{ dt }=cost
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प्रश्न 4.
x = 4t, y=\frac { 4 }{ t }
हल-
दिया है, x = 4t तथा y=\frac { 4 }{ t }
दोनों पक्षों का है के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 5.
x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
हल-
दिया है, x = cosθ – cos 2θ तथा y = sin θ – sin 2θ
x = cos θ – cos 2θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 6.
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cosθ)
हल-
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प्रश्न 7
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हल-
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प्रश्न 8
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हल-
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प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
हल-
दिया है, x = a sec θ तथा y = b tan θ
दोनों पक्षों का θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 10.
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a(sin θ – θcos θ)
हल-
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प्रश्न 11.
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हल-
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प्रश्नावली 5.7

प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में दिए फलनों के द्वितीय कोटि के अवकलज ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.
x² + 3x + 2
हल-
माना y = x² + 3x + 2
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, \frac { dy }{ dx }=2x+3
दोनों पक्षों का पुन: x में सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 2.
x20
हल-
माना y = x20
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 3.
x cos x
हल-
माना y = x cos x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 4.
log x
हल-
माना y = log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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दोनों पक्षों को पुन: x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x3 log x
हल-
माना y = x3 log x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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= 2x + 3x + 6x log x
= 5x + 6x log x
= x (5 + 6 log x)

प्रश्न 6.
ex sin 5x
हल-
माना y = ex sin 5x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 7.
e6x cos 3x
हल-
माना y = e6x cos 3x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 8.
tan-1x
हल-
माना y = tan-1x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 9.
log (log x)
हल-
माना y = log (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 10.
sin (log x)
हल-
माना y = sin (log x)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 11.
यदि y = 5 cos x – 3 sin x है तो सिद्ध कीजिए कि
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हल-
दिया है, y = 5 cos x – 3 sin x
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 12.
यदि y = cos-1 x है तो \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } को केवल y के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, y = cos-1 x
⇒ x = cos y
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
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प्रश्न 13.
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हल-
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प्रश्न 14.
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हल-
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प्रश्न 15
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हल-
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प्रश्न 16
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हल-
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प्रश्न 17
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हल-
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प्रश्नावली 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x∈[-4,2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल-
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प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5,9]
(ii) f(x) = [x] के लिए x∈[-2,2]
(ii) f(x) = x² – 1 के लिए x∈[1,2]
हल-
(i) f(x) = [x] के लिए x∈[5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) = [x], x∈[-2, 2]
f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = (x² – 1), x∈[1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0,
f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
चूँकि f, [1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
∴ यहाँ रोले प्रमेय लागू नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f :[-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f ‘ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) ≠ f(5).
हल-
दिया है, f:[-5, 5]→ R
f संतत है तथा अवकलनीय है लेकिन f” (x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है
(i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
f ‘(c) = 0 c ∈(a, b)
f ‘(c) ≠ 0
⇒ f(a) ≠ f(b)
f(- 5) ≠ f(5) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और  b = 4 है।
हल-
दिया है, (x) = x² – 4x – 3,[1,4] अन्तराल के लिए f एक बहुपदीय व्यंजक है। यह 1,4 में संतत तथा (1, 4) में अवकलनीय दोनों है।
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प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f ‘(c) = 0 के लिए c∈(1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल-
दिया है, f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3] में f संतत है और (1, 3) में अवकलनीय है क्योकि यह बहुपदीय है।
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प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल-
(i) f(x) = [x],
x∈[5,9]
दिये हुए अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii)
f(x) =[x], x ∈[-2, 2 ]
दिये हुए अन्तराल [-2, 2] में f बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है तथा न ही अवकलनीय है।
माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(iii) f(x) = x² – 1, x ∈[1, 2]
यह एक बहुपदीय फलन है। यह अन्तराल [1,2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।
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