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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.3 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय
गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके निम्न बहुपदों के गुणनफल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
x3 +13x2 + 32x + 20; यदि (x + 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
हलः
x3 + 13x2 + 32x + 20 का (x + 2) एक गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (x + 2)[x2 +11x + 10]
= (x + 2)[x2 + (10 + 1)x + 10]
= (x + 2)[x2 + 10x + x + 10]
= (x + 2)[x(x + 10) + 1(x + 10)]
= (x + 2)(x + 10)(x + 1)
प्रश्न 2.
x3 – 6x2 + 3x + 10; यदि (x – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
हल:
x3 – 6x2 + 3x + 10 का एक गुणनखण्ड (x – 2) है।
गुणनखण्ड = (x – 2)[x2 – 4x – 5]
= (x – 2)[x2 – (5 – 1)x – 5]
= (x – 2)[x2 – 5x + x – 5]
= (x – 2)[x(x – 5) + 1(x – 5)]
= (x – 2)(x – 5)(x + 1)
प्रश्न 3.
x3 + 13x2 + 31x – 45; यदि (x + 9) इसका एक गुणनखण्ड है।
हलः
x3 + 13x2 + 31x – 45 का एक गुणनखण्ड (x + 9) है।
गुणनखण्ड = (x + 9)[x2 + 4x – 5]
= (x + 9)[x2 + (5 – 1)x -5]
= (x + 9)[x2 + 5x – x -5]
= (x + 9)[x(x + 5) – 1(x + 5)]
= (x + 9)(x + 5)(x – 1)
प्रश्न 4.
9x3 – 27x2 – 100x + 300; यदि (3x + 10) इसका एक गुणनखण्ड है।
हल:
9x3 – 27x2 – 100x + 300 का एक गुणनखण्ड (3x + 10) है।
गुणनखण्ड = (3x + 10)[3x2 – 19x + 30]
= (3x + 10)[3x2 – (10 + 9)x + 30]
= (3x + 10)[3x2 – 10x – 9x + 30]
= (3x + 10)[x(3x – 10) – 3(3x – 10)]
= (3x + 10)(3x – 10)(x – 3)
प्रश्न 5.
x4 – 7x3 + 9x2 + 7x – 10; यदि (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
हल:
x4 – 7x3 + 9x2 – 10 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है।
x3 – 6x2 + 3x + 10 में x = -1 रखने पर
शेषफल = (-1)3 – 6(-1)2 + 3(-1) + 10
= -1 – 6 – 3 + 10 = 0
∴ (x + 1) भी इसका एक गुणनखण्ड होगा।
गुणनखण्ड = (x -1)(x + 1)[x2 – 7x + 10]
= (x – 1)(x + 1)[x2 – (5 + 2)x + 10]
= (x – 1)(x + 1)[x2 – 5x – 2x + 10]
= (x – 1)(x + 1)[x(x – 5) – 2(x – 5)]
= (x – 1)(x + 1)(x – 5)(x – 2)
प्रश्न 6.
x3 + 6x2 + 11x + 6
हल:
x3 + 6x2 + 11x + 6
अतः इनमें से ऋणात्मक मान रखे जायेंगे।
x = -1 रखने पर = (-1)3 + 6(-1)2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 – 11 + 6 = 0
अतः (x + 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (x + 1)[x2 + 5x + 6]
= (x + 1)[x2 + (2 + 3)x + 6]
= (x + 1)[x2 + 2x + 3x + 6]
= (x + 1)[x(x + 2) + 3(x + 2)]
= (x + 1)(x + 2)(x + 3)
प्रश्न 7.
x3 + 7x2 + 7x – 15
हल:
x3 + 7x2 + 7x – 15 (∵ 15 = 1 × 3 × 5)
x = 1 रखने पर = (1)3 + 7(1)2 + 7(1) – 15 = 1 + 7 + 7 – 15 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
∴ गुणनखण्ड = (x – 1)[x2 + 8x +15]
= (x – 1)[x2 + (3 + 5)x + 15]
= (x – 1)[x2 + 3x + 5x + 15]
= (x – 1)[x(x + 3) + 5(x + 3)]
= (x – 1)(x + 3)(x + 5)
प्रश्न 8.
a3 + b3 + c3 – 3abc
हल:
a3 + b3 + c3 – 3abc में a = -(b + c) रखने पर
=[-(b + c)]3 + b3 + c3 + 3(b + c)bc = -[b3 + c3 + 3bc(b + c)] + b3 + c3 + 3b2c + 3bc3 = 0
अतः (a + b + c) इसका एक गुणनखण्ड है।
∴ a3 + b3 + c3 – 3abc के गुणनखण्ड = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
प्रश्न 9.
x4 + x3 – 7x2 – x + 6
हलः
x4 + x3 – 7x2 – x + 6 (∵ 6 = 1 × 2 × 3)
x = 1 रखने पर = (1)4 + (1)3 – 7(1)2 – 1 + 6 = 1 + 1 – 7 – 1 + 6 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है। .
x = -1 रखने पर = (-1)4 + (-1)3 – 7(-1)2 – (-1) + 6 = 1 – 1 – 7 + 1 + 6 = 8 – 8 = 0
अतः (x + 1) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
∴ (x + 1)(x – 1) = (x2 – 1) बहुपद का गुणनखण्ड होगा।
∴ गुणनखण्ड = (x + 1)(x – 1)[x2 + x – 6]
= (x + 1)(x – 1)[x2 + (3 – 2)x – 6] = (x + 1)(x – 1)[x2 + 3x – 2x – 6]
= (x + 1)(x – 1)[x(x + 3) – 2(x + 3)]
= (x + 1)(x – 1)(x + 3)(x – 2)
प्रश्न 10.
2y3 – 5y2 – 19y + 42
हलः
2y3 – 5y2 – 19y + 42 (∵ 42 = 2 × 3 × 7)
y = 2 रखने पर = 2(2)3 – 5(2)2 – 19(2) + 42 = 16 – 20 – 38 + 42 = 58 – 58 = 0
अतः (y – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
∴ गुणनखण्ड = (y – 2)[2y2 – y – 21]
= (y – 2)[2y2 – (7 – 6)y – 21] = (y – 2)[2y2 – 7y + 6y – 21]
= (y – 2)[y (2y – 7) + 3(2y – 7)]
= (y – 2)(y + 3)(2y – 7)
प्रश्न 11.
x4 – 5x3 – 7x2 + 41x – 30
हल:
x4 – 5x3 – 7x2 + 41x – 30 (∵ 30 = 1 × 2 × 3 × 5)
x = 1 रखने पर = (1)4 – 5(1)3 – 7(1)2 + 41(1) – 30 = 1 – 5 – 7 + 4 1 – 30 = 42 – 42 = 0
अतः (x -1) इसका एक गुणनखण्ड है।
x = 2 रखने पर = (2)4 – 5(2)3 – 7(2)2 + 41(2) – 30 = 16 – 40 – 28 + 82 – 30 = 98 – 98 = 0
अतः (x – 2) भी इसका एक गुणनखण्ड है।।
(x – 1)(x – 2) = x2 – 2x – x + 2 = x2 – 3x + 2 इसके गुणनखण्ड है।
∴ गुणनखण्ड = (x – 1)(x – 2)[x2 – 2x – 15]
= (x – 1)(x – 2)[x2 – (5 – 3)x – 15] = (x -1)(x – 2)[x2 – 5x + 3x – 15]
= (x – 1)(x – 2)[x(x – 5) + 3(x – 5)] = (x – 1)(x – 2)(x – 5)(x + 3)
प्रश्न 12.
a4 + 2a3 – 2a2 + 2a – 3
हलः
a4 + 2a3 – 2a2 + 2a – 3 (∵ 3 = 1 × 3)
a = 1 रखने पर = (1)4 + 2(1)3 – 2(1)2 + 2(1) – 3 = 1 + 2 – 2 + 2 – 3 = 5 – 5 = 0
अतः (a – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
a = -3 रखने पर = (-3)4 + 2(-3)3 – 2(-3)2 + 2(-3) – 3 = 81 – 54 – 18 – 6 – 3 = 81 – 81 = 0
अतः (a + 3) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
इसलिए (a – 1)(a + 3) = a2 + 3a – a – 3 = a2 + 2a – 3 इसका गुणनखण्ड है।
∴ गुणनखण्ड = (a – 1)(a + 3)(a2 + 1)
प्रश्न 13.
4x4 – 12x3 – x2 + 27x – 18
हलः
4x4 – 12x3 – x2 + 27x – 18 (∵ 18 = 1 × 2 × 3 × 3)
x = 1 रखने पर = 4(1)4 – 12(1)3 – (1)2 + 27(1) – 18 = 4 – 12 – 1 + 27 – 18 = 31 – 31 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
इसी प्रकार x = 2 रखने पर = 4(2)4 – 12(2)3 – (2)2 + 27(2) – 18
= 4 × 16 – 12 × 8 – 4 + 27 × 2 – 18
= 64 – 96 – 4 + 54 – 18 = 118 – 118 = 0
अतः (x – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
(x – 1)(x – 2) = x2 – 2x – x + 2 = x2 – 3x + 2 इसका गुणनखण्ड है।
∴ गुणनखण्ड = (x – 1)(x – 2)(4x2 – 9) = (x – 1)(x – 2)(2x + 3)(2x – 3)
प्रश्न 14.
x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 24
हल:
x4 + 10x3 + 35x2 + 50x + 24 (∵ 24 = 1 × 2 × 2 × 2 × 3)
x = -1 रखने पर = (-1)4 + 10(-1)3 + 35(-1)2 + 50(-1) + 24
= 1 – 10 + 35 – 50 + 24 = 60 – 60 = 0
अतः (x + 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
x = -2 रखने पर = (-2)4 + 10(-2)3 + 35(-2)2 + 50(-2) + 24
= 16 – 80 + 140 – 100 + 24 = 180 – 180 = 0
अतः (x + 2) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
∴ (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 इसका गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (x + 1)(x + 2)[x2 + 7x + 12]
= (x + 1)(x + 2)[x2 + (3 + 4)x + 12] = (x + 1)(x + 2)[x2 + 3x + 4x + 12]
= (x + 1)(x + 2)[x(x + 3)+ 4(x + 3)] = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
प्रश्न 15.
3a4 + 28a3 + 87a2 + 98a + 24
हलः
3a4 + 28a3 + 87a2 + 98a + 24 (∵ 24 = 1 × 2 × 3 × 4)
a = -2 रखने पर = 3(-2)4 + 28(-2)3 + 87(-2)2 + 98(-2) + 24
= 48 – 224 + 348 – 196 + 24 = 420 – 420 = 0
अतः (a + 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
a = -3 रखने पर = 3(-3)4 + 28(-3)3 + 87(-3)2 + 98(-3) + 24
= 243 – 756 + 783 – 294 + 24 = 1050 – 1050 = 0
अतः (a + 3) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
(a + 2)(a + 3) = a2 + 5a + 6 इसका गुणनखण्ड है।
∴ गुणनखण्ड = (a + 2)(a + 3)[3a2 + 13a + 4] = (a + 2)(a + 3)[3a2 + (12 + 1)a + 4]
= (a + 2)(a + 3)[3a2 + 12a + a + 4] = (a + 2)(a + 3)[3a(a + 4) + 1(a + 4)]
= (a + 2)(a + 3)(3a + 1)(a + 4)