Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.2

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.2 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

Ex 6.2 Remainder Theorem and Factor Theorem अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
बहुपद (25x2 – 1) + (1 – 5x) का एक गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हलः
(25x2 – 1) + (1 – 5x)2 = 25x2 – 1 + 1 + 25x2 – 10x = 50x2 – 10x = 10x(5x – 1)
x बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

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प्रश्न 2.
बहुपद x3 – 6x2 + 11x – 6 के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
x3 – 6x2 + 11x – 6 में x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)3 – 6(1)2 + 11(1) – 6 = 1 – 6 + 11 – 6 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
इसी प्रकार (x – 2) व (x – 3) भी इसके गुणनखण्ड हैं।

प्रश्न 3.
यदि (x + 1) बहुपद f (x) = 2x2 + kx, का एक गुणनखण्ड है तो k का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT Exemplar)
हलः
यदि (x + 1), f(x) = 2x2 + kx का एक गुणनखण्ड है तो x + 1 = 0
∴ x = 0 – 1 = -1 रखने पर f(-1) = 0
f(-1) = 2(-1)2 + k(-1)
0 = 2 – k ⇒ k = 2

प्रश्न 4.
यदि (x – 2) बहुपद 4x3 + 3x2 – 4x + k का एक गुणनखण्ड है तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि (x – 2), f(x) = 4x3 + 3x2 – 4x + k का एक गुणनखण्ड है तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
∴ f(2) = 0
4(2)3 + 3(2)2 – 4(2) + k = 0
32 + 12 – 8 + k=0
36 + k = 0 ⇒ k = -36

Ex 6.2 Remainder Theorem and Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 5.
a का मान ज्ञात कीजिए यदि (x + 1) बहुपद 2x3 – ax2 -(2a – 3)x + 2 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
यदि (x + 1) बहुपद 2x3– ax2 – (2a – 3)x + 2 का एक गुणनखण्ड है तो
x + 1 = 0 या x = -1 रखने पर।
शेषफल = 0
2(-1)3 – a(-1)2 – (2a – 3)(-1) + 2 = 0
-2 – a + 2a – 3 + 2 = 0
a – 3 = 0 ⇒ a = 3

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प्रश्न 6.
k का मान ज्ञात कीजिए, यदि (x – 3) बहुपद k2x2 – kx – 2 का गुणनखण्ड है।
हलः
यदि (x – 3), k2x2 – kx – 2 का एक गुणनखण्ड है तो x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = 0
k2. (3)2 – k. 3 – 2 = 0
9k2 – 3k – 2 = 0
9k2 –(6 – 3)k – 2 = 0
9k2 – 6k + 3k – 2 = 0
3k(3k – 2) + 1(k – 2) = 0
(3k – 2)(3k + 1) = 0
यदि 3k – 2 = 0 ∴ k = \frac{2}{3}
यदि 3k + 1 = 0 ∴ k = \frac{1}{3}

Ex 6.2 Remainder Theorem and Factor Theorem लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 7.
यदि (x – 1) बहुपद x4 – 3x3 + bx2 + 8x – 4 का एक गुणनखण्ड है, तो b का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि (x – 1), x4 – 3x3 + bx2 + 8x – 4 का एक गुणनखण्ड है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = 0
(1)4 – 3(1)3 + b(1)2 + 8(1) – 4 = 0
1 – 3 + b + 8 – 4 = 0
b + 2 = 0
b = 0 – 2 ⇒ b = -2

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि (x – 3) व (x + 4) बहुपद x2 + x – 12 के गुणनखण्ड हैं।
हलः
बहुपद x2 + x – 12 के गुणनखण्ड (x – 3) तथा (x + 4) होंगे।
यदि x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर शेषफल = (3)2 + 3 – 12 = 9 + 3 – 12 = 0
यदि x + 4 = 0 या x = -4 रखने पर शेषफल = (-4)2 – 4 – 12 = 16 – 16 = 0
∴ (x – 3) व (x + 4) बहुपद x2 + x – 12 के गुणनखण्ड हैं।

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प्रश्न 9.
गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके जाँचिये कि g(x), बहुपद f(x) का गुणनखण्ड है या नहीं।
(i) f(x) = x3 – 6x2 -19x + 84 तथा g(x) = x – 7
(ii) f(x) = x3 – 3x2 +4x – 4 तथा g(x) = x – 2
(iii) f(x) = 3x4 + 17x3 + 9x2 – 7x – 10 तथा g(x) = x + 5
(iv) f(x) = 2x3 + 4x + 6 तथा g(x) = x + 1
हल:
(i) f(x) = x3 – 6x2 – 19x + 84 तथा g(x) = x – 7
g(x) = x – 7 = 0 या x = 7 का मान f(x) में रखने पर
f(7) = (7)3 – 6(7)2 – 19(7) + 84
= 343 – 294 – 133 + 84
=427 – 427 = 0
अतः g(x), f(x) का एक गुणनखण्ड है।

(ii) f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 4 तथा g(x) = x – 2
g(x) = 0 या x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
f(2) = (2)3 – 3(2)2 + 4(2) – 4
= 8 – 12 + 8 – 4
= 16 – 16 = 0
अतः g(x), f(x) का एक गुणनखण्ड है।

(iii) f(x) = 3x4 + 17x3 + 9x2 – 7x – 10 तथा g(x) = x + 5
g(x) = 0 या x + 5 = 0 या x = -5 रखने पर
f(-5) = 3(-5)4 + 17(-5)3 + 9(-5)2 – 7(-5) – 10
= 3 × 625 – 17 × 125 + 9 × 25 + 35 – 10
= 1875 – 2125 + 225 + 25
= 2125 – 2125 = 0
अतः g(x), f(x) का एक गुणनखण्ड है।

(iv) f(x) = 2x3 + 4x + 6 तथा g(x) = x +1
g(x) = 0 या x + 1 = 0 या x = -1 रखने पर
f(-1) = 2(-1)3 + 4(-1) + 6
= -2 – 4 + 6 = 0
अतः g(x), f (x) का एक गुणनखण्ड है।

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प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि 2x4 – 6x3 + 3x2 + 3x – 2; x2 – 3x + 2 से पूर्णतया विभाजित है।
हलः
2x4 – 6x3 + 3x2 + 3x – 2 को x2 – 3x + 2 से भाग करने पर
∵ x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x -1) यदि x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = 2(2)4 – 6(2)3 + 3(2)2 + 3(2) – 2
= 32 – 48 + 12 + 6 – 2
= 50 – 50 = 0
∴ (x – 2) से पूर्णतया विभाजित है।
यदि x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = 2(1)4 – 6(1)3 + 3(1)2 + 3(1) – 2
= 2 – 6 + 3 + 3 – 2
= 8 – 8 = 0
∴ (x – 1) से पूर्णतया विभाजित है।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (x – 1), बहुपद x10 – 1 तथा x11 – 1 का गुणनखण्ड है।
हलः
(x – 1), बहुपद x10 – 1 का गुणनखण्ड होगा। यदि x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
x10 – 1 का शेषफल = (1)10 – 1 = 1 – 1 = 0
∴ (x – 1), x10 – 1 का गुणनखण्ड है।
x11 – 1 का शेषफल = (1)11 – 1 = 1 – 1 = 0
∴ (x – 1), x11 – 1 का गुणनखण्ड है।

प्रश्न 12.
बहुपद 4x3 + 16x2 – x + 5 से क्या घटाया जाये कि ऐसा बहुपद प्राप्त हो जो (x + 5) से पूर्णतया विभाजित हो?
हलः
यदि (x + 5) से 4x3 + 16x2 – x + 5 को पूर्णतया विभाजित किया जाए तो
x + 5 = 0 या x = 0 – 5 = -5 रखने पर
शेषफल = 4(-5)3 + 16(-5)2 – (-5) + 5
= 4(-125) + 16(25) + 5 + 5
= -500 + 400 + 10 = -90

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प्रश्न 13.
गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से k का मान ज्ञात कीजिए यदि (x + 2), बहुपद (x + 1)7 + (2x + k)3 का एक गुणनखण्ड है।
हलः
यदि (x + 2), बहुपद (x + 1)7 + (2x + k)3 का एक गुणनखण्ड है तो
x + 2 = 0 या x = 0 – 2 = -2 रखने पर
शेषफल = 0
(-2 + 1)7 + (2 × -2 + k)3 = 0
(-1)7 + (-4 + k)3 = 0
-1 + (-4 + k)3 = 0
(-4 + k)3 = 1
(-4 + k)3 = (1)3
-4 + k = 1
k = 1 + 4 = 5

प्रश्न 14.
m व n के मान ज्ञात कीजिए यदि (x – 1) तथा (x + 2), बहुपद 2x3 + mx2 + nx – 14 के गुणनखण्ड हैं।
हलः
यदि (x – 1), बहुपद 2x3 + mx2 + nx – 14 का एक गुणनखण्ड है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
2(1)3 + m(1)2 + n(1) – 14 = 0
2 + m + n – 14 = 0
m + n = 12 ………….(1)
यदि (x + 2), बहुपद 2x3 + mx2 + nx – 14 का एक गुणनखण्ड है तो x + 2 = 0 या x = -2 रखने पर
2(-2) + m(-2)2 + n(-2) – 14 = 0
-16 + 4m – 2n – 14 = 0
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समीकरण (1) में m का मान रखने पर 9 + n = 12
n = 12 – 9 = 3

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प्रश्न 15.
α व β के मान ज्ञात कीजिए यदि (x + 1) तथा (x + 2), बहुपद x3 + 3x2 – 2αx + β के गुणनखण्ड हैं।
हलः
यदि (x + 1), x3 + 3x2 – 2αx + β का एक गुणनखण्ड है तो
x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = -1 रखने पर
शेषफल = (-1)3 + 3(-1)2 – 2α . (-1) + β = 0
-1 + 3 + 2α + β = 0
2 + 2α + β = 0
2α + β = -2 ………………….(1)
यदि (x + 2), x3 + 3x2 – 2α.x + β का एक गुणनखण्ड है। तो .
x + 2 = 0 या x = 0 – 2 = -2 रखने पर
शेषफल ⇒ (-2)3 + 3(-2)2 – 2α (-2) + β = 0
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प्रश्न 16.
गणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि a + b, b + c, c + a बहुपद (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) के गुणनखण्ड हैं।
हल:
∵ a + b एक गुणनखण्ड होगा (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) का
यदि a + b = 0 या a = – b रखने पर,
शेषफल = (-b + b + c)3 – (-b3 + b3 + c3) = c3 – c3 = 0
∴ (a + b) इसका एक गुणनखण्ड है। .
∵ b + c एक गुणनखण्ड है (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) का
यदि b + c = 0 या b = -c रखने पर,
शेषफल = (a – c + c)3 – (a3 – c3 + c3) = a3 – a3 = 0
∴ (b + c) इसका एक गुणनखण्ड है।
∵ c + a एक गुणनखण्ड है (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) का।
यदि c + a = 0 या c = -a रखने पर ,
शेषफल = (a + b – a)3 – (a3 + b3 – a) = b3 – b3 = 0
∴ c + a इसका एक गुणनखण्ड है।

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