Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.3

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.3 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.3 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Question

प्रश्न 1.
जब एक बहुपद x² + 4x + 5 कों (x + 3) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x² + 4x + 5 को (x + 3) से भाग करने पर शेषफल प्राप्त करने के लिए x + 3 = 0 या
x = 0 – 3 = -3 बहुपद में रखते है।
∴ शेषफल = (-3)² + 4(-3) + 5 = 9 – 12 + 5 = 2

प्रश्न 2.
जब एक बहुपद x² + 6x + 9 को (x + 3) से भाग दिया जाता है. तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x² + 6x + 9 को (x + 3) से भाग करने पर
x + 3 = 0 या x = -3 रखने पर
∴ शेषफल = (-3)² + 6(-3) + 9 = 9 – 18 + 9 = 0

प्रश्न 3.
जब एक बहुपद x³ – 7x + 6 को (x – 1) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x³ – 7x + 6 को (x – 1) से भाग करने पर
x – 1 = 0 या x = 1
शेषफल = (1)³ – 7(1) + 6 = 1 – 7 + 6 = 0

प्रश्न 4.
जब बहुपद (x³ + 1) को (x + 1) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
(x³ + 1) को (x + 1) से भाग करने पर
x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = -1 बहुपद में रखने पर शेषफल = (-1)³ + 1 = -1 + 1 = 0

प्रश्न 5.
जब बहुपद x³ + 3x + 3 को (x + 2) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि बहुपद x² + 3x + 3 को (x + 2) से भाग किया जाए तो x + 2 = 0 या x = 0 – 2 = -2 रखने पर
शेषफल = (-2)² + 3(-2) + 3 = 4 – 6 + 3 = 1

प्रश्न 6.
जब बहुपद x⁶ + x⁴ – x² +1 को x – 2 से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि बहुपद x⁶ + x⁴ – x² + 1 को (x – 2) से भाग किया जाए तो x – 2 = 0 या x = 2 रखने पर
शेषफल = (2)⁶ + (2)⁴ – (2)² + 1 = 64 + 16 – 4 + 1 = 77

प्रश्न 7.
यदि x¹⁵ – 199 को (x – 1) से भाग दिया जाता है तब शेषफल ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि x¹⁵ – 199, (x – 1) से विभाजित है तो x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर
शेषफल = (1)¹⁵ – 199 = 1 – 199 = -198

प्रश्न 8.
बहुपद x³ – 3x² + 4x – 12 का एक गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
x³ – 3x² + 4x – 2 में x = 1 रखने पर शेषफल 0 नहीं है।
x = 2 रखने पर शेषफल 0 नहीं है।
x = 3 रखने पर शेषफल = (3)³ – 3(3)² + 4(3) – 12 = 27 – 27 + 12 – 12 = 0
इसलिए (x -3) इसका एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 9.
यदि p(-3) = 0 तब बहुपद p(x) का गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि p(-3) = 0 तब p(x) का एक गुणनखण्ड (x + 3) होगा।

प्रश्न 10.
बहुपद 2x³ + 4x + 6 का एक गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
2x³ + 4x + 6 का एक गुणनखण्ड (x + 1) होगा।
यदि x + 1 = 0 या x = 0 – 1 = -1 रखने पर
शेषफल = 2(-1)² + 4(-1) + 6 = -2 – 4 + 6 = 0

प्रश्न 11.
(x – 3) निम्न में से किस बहुपद का गुणनखण्ड होगा?
(a) 2x² – x – 15
(b) x² + 9
(c) 3x² + 5x + 7
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) (x – 3), 2x² – x – 15 का एक गुणनखण्ड है। क्योंकि x – 3 = 0 या x = 3 रखने पर
शेषफल = 2(3)² – 3 – 15 = 18 – 3 – 15 = 0

प्रश्न 12.
(x + 1) निम्न में से किसका गुणनखण्ड नहीं है।
(a) x² – 4x – 3
(b) x² + 4x + 3
(c) x² – 1
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(a) (x + 1), x² – 4x – 3 का एक गुणनखण्ड नहीं है।
∵ x+1 = 0 या X = 0-1 = -1 रखने पर
शेषफल = (-1)² – 4(-1) – 3 = 1 + 4 – 3 = 2 ≠ 0

प्रश्न 13.
यदि (2x + 1) बहुपद 4x² – kx + k का एक गुणनखण्ड है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ (2x + 1), 4x² – kx + k का गुणनखण्ड है।
∴ 2x + 1 = 0 या 2x = -1 या x = रखने पर
शेषफल = 0

प्रश्न 14.
यदि (x – 1) बहुपद x³ + kx² + 142x – 120 का एक गुणनखण्ड है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ (x – 1) बहुपद x³ + kx² + 142x – 120 का एक गुणनखण्ड है।
∴ x – 1 = 0 या x = 1 रखने पर,
शेषफल = 0
(1)³ + k(1)² + 142 × 1 – 120 = 0
1 + k + 142 – 120 = 0
k + 23 = 0 ⇒ k = -23

प्रश्न 15.
यदि बहुपद px² – 4px +3 का एक गुणनखण्ड है, तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि , px² – 4px + 3 का एक गणुखण्ड है।
∴ = 0 या x = -रखने पर शेषफल

Ex 5.3 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 16.
निम्न प्रत्येक में, बहुपद f(x) को g(x) से भाग दीजिए तथा भागफल व शेषफल के मान ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = 5x² + 3x + 1; , g(x) = 2x
(ii) f(x) = x³ – 14x² + 37x – 60; g(x) = x – 2
(iii) f(x) = x³ – 3x² + 4x + 2; g(x) = x – 1
(iv) f(x) = x³ + 3x² – 12x + 4; g(x) = x – 2
(v) f(x) = 2x² – 3x + 5; g(x) = x – a
हलः
(i) f(x) = 5x² + 3x + 1 तथा g(x) = 2x

(ii) f(x) = x³ – 14x² + 37x – 60 तथा g(x) = x – 2

भागफल = x² – 12x + 13 तथा शेषफल = -34

(iii) f(x) = x³ – 3x² + 4x + 2 तथा g(x) = x – 1

भागफल = x² – 2x + 2
शेषफल = 4

(iv) f(x) = x³ + 3x² – 12x + 4 तथा g(x) = x – 2

भागफल = x² + 5x – 2
शेषफल = 0

(v) f(x) = 2x² – 3x + 5 तथा g(x) = x – a

भागफल = 2x + 2a – 3 तथा शेषफल = 2a² – 3a + 5

Ex 5.3 Polynomial and their Factors  दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि x² – 4x + 3 बहुपद x³ – 3x² – x + 3 का एक गुणनखण्ड है।
हलः

∵ x³ – 3x² – x + 3, x² – 4x + 3 से पूर्णतया विभाजित है।
∴ x² – 4x + 3 इसका एक गुणनखण्ड है।।

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि x² – x + 2 बहुपद x³ – 3x² + 4x – 4 का एक गुणनखण्ड है।
हलः

∵ x³ – 3x² + 4x – 4, x² – x + 2 से पूर्णतया विभाजित है।
∴ x² – x + 2 इसका एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि x – 3 बहुपद x³ – 2x² + 3x – 18 का एक गुणनखण्ड है।
हलः

∵ x³ – 2x² + 3x – 18, x – 3 से पूर्णतया विभाजित है।
∴ x – 3 इसका एक गुणनखण्ड है।

प्रश्न 20.
निम्न प्रत्येक में f(x) को g(x) से भाग कीजिए तथा भागफल व शेषफल के मान ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = x + 5x³ + 3x² + 5x + 3; g(x) = x² + 4x + 2
(ii) f(x) = 6x⁵ + 4x⁴ – 3x³ + x + 1; g(x) = 3x² – x + 1
(iii) f(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² + 2x + 2; g(x) = x + 1
हल:
(i) f(x) = x⁵ + 5x³ + 3x² + 5x + 3 तथा g(x) = x² + 4x + 2

भागफल = x³ – 4x² + 19x – 65
शेषफल = 227x + 133

(ii) f(x) = 6x⁵ + 4x⁴ – 3x³ + x + 1 तथा g(x) = 3x² – x + 1

भागफल = 2x³ + 2x² – x – 1
शेषफल = x + 2

(iii) f(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² + 2x + 2 तथा g(x) = x³ + 1

भागफल = x² + x + 1 तथा शेषफल = x + 1