Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.2

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 5 Polynomial and their Factors Ex 5.2 बहुपद तथा उनके गुणनखण्ड

Ex 5.2 Polynomial and their Factors अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
बहुपद x6 + 5x2 + 7 की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x6 + 5x2 + 7 की घात 6 है क्योंकि बहुपद की सबसे बड़ी घात 6 है।

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प्रश्न 2.
बहुपद 3x + 7 की घात क्या है?
हलः
बहुपद 3x + 7 की घात 1 है क्योंकि बहुपद की सबसे बड़ी घात 1 है।

प्रश्न 3.
2 घात का बहुपद बताइए?
हल:
x2 + 2x + 1 की घात 2 है।

प्रश्न 4.
बहुपद x2(3x4 + 7x – 5) की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
x2(3x4 + 7x – 5) = 3x6 + 7x3 – 5x2 की घात 6 है।

प्रश्न 5.
यदि f(x) की घात = 36 तथा g(x) की घात = 20 तब f(x)+g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद f(x) की घात = 36
बहुपद g(x) की घात = 20
f(x) + g(x) की घात 36 होगी क्योंकि यह घात दोनों में बड़ी घात है।

प्रश्न 6.
यदि f(x) की घात = m तथा g(x) की घात = n, m < n, तब f (x) + g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि बहुपद f(x) की घात m तथा बहुपद g(x) की घात n है। यदि m < n तब f(x) + g(x) की घात n होगी क्योंकि n, m से बड़ी घात है।

प्रश्न 7.
यदि f (x) की घात = m तथा g(x) की घात = n, m > n, तब f(x) + g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि बहुपद f(x) की घात m तथा बहुपद g(x) की घात n है तथा m > n, तब f(x) + g(x) की घात m होगी क्योंकि m, n से बड़ी घात है।

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प्रश्न 8.
यदि f(x) = x7 – x + 2x2 + 1 व g(x) = -x7 + x – 2 तब f(x) + g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x7 – x5 + 2x2 + 1, g(x) = -x7 + x – 2
∴ f(x) + g(x) = –x5 + 2x2 + x – 1
इसमें सबसे बड़ी घात 5 है।
∴ f(x) + g(x) की घात 5 होगी।

प्रश्न 9.
दिये गये प्रश्न 8 में f(x) – g(x) की घात क्या है? हलः प्रश्न 8 से F(x) – g(x) = 2x7 – x5 + 2x2 – x + 3
इसमें सबसे बड़ी घात 7 है।
∴ f(x) – g(x) की घात 7 होगी।

Ex 5.2 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 10.
निम्न में से प्रत्येक बहुपद की घात ज्ञात कीजिए
(i) 0 (NCERT Exemplar)
(ii) 7
(iii) x
(iv) x + 7
(v) x2 + 2x +7
(vi) 4x3 + \sqrt{5} x^{2} – 2x + \frac{5}{7}
(vii) (x + 5)(4x + 7)
(viii) 6x(x2 + 7)
हलः
(i) 0 एक शून्य बहुपद है, इसकी कोई घात नहीं होती।
(ii) 7 एक अचर बहुपद है, इसकी घात शून्य है।
(iii) x में सबसे बड़ी घात 1 है। इसलिए इसकी घात एक है।
(iv) x + 7 में सबसे बड़ी घात 1 है। इसलिए इसकी घात एक है।
(v) x2 + 2x + 7 में x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए इसकी घात दो है।
(vi) 4x3 + \sqrt{5} x^{2} – 2x + \frac{5}{7} में x की सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए इसकी घात तीन है।
(vii) (x + 5)(4x + 7) = 4x2 + 27x + 35 में x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए इसकी घात दो है।
(viii) 6x(x2 +7) = 6x2 + 42x में x की सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए इसकी घात तीन है।

प्रश्न 11.
यदि f (x) = 2x2 +3x +1 व g(x) = 0 तब f(x).g(x) ज्ञात कीजिए।
हलः
f(x) = 2x2 + 3x +1, g(x) = 0
f(x) . g(x) = (2x2 + 3x + 1) . 0 = 0

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प्रश्न 12.
x2 – 4 को x3 – 4 बनाने के लिए क्या जोडें?
हलः
माना x2 – 4 में A जोड़ा जाए जिससे योगफल x3 – 4 हो जाए।
∴ x2 – 4 + A = x3 – 4
∴ A = x3 – 4 – x2 + 4
A = x2 – 2

प्रश्न 13.
बहुपद x4 + 3x3 + 4x2 – 3x – 6 से 3x3 + 4x2 – x + 3 प्राप्त करने के लिए क्या घटायें।
हलः
माना x4 + 3x3 + 4x2 – 3x – 6 में से A घटाया जाए, जिससे शेषफल 3x3 + 4x2 – x + 3 प्राप्त हो जाए।
x4 + 3x3 + 4x2 – 3x – 6 – A = 3x3 + 4x2 – x +3
-A = 3x3 + 4x2 – x + 3 – x4 – 3x3 – 4x2 + 3x + 6
-A = -x4 + 2x + 9
∴ A = x4 – 2x – 9
∴ x4 – 2x – 9 घटाया जाएगा।

Ex 5.2 Polynomial and their Factors  लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 14.
बहुपद x4 – x2 + x + 2 से x2 + x + 4 प्राप्त करने के लिये क्या जोडें?
हलः
माना x4 – x2 + x + 2 में A जोड़ा जाए जिससे x2 + x + 4 प्राप्त हो जाए।
x4 – x2 + x + 2 + A = x2 + x +4
∴ A = x2 + x + 4 – x4 + x2 – x – 2 = -x4 + 2x2 + 2

प्रश्न 15.
7x3 + x2 – 3x + 4 प्राप्त करने के लिये बहुपद 8x3 – 3x2 + 5x – 9 में क्या जोडें?
हलः
माना 8x3 – 3x2 + 5x – 9 में A जोड़ा जाए जिससे 7x3 + x2 – 3x + 4 प्राप्त हो जाए।
8x3 – 3x2 + 5x – 9 + A.= 7x3 + x2 – 3x +4
∴ A = 7x3 + x2 – 3x + 4 – 8x3 + 3x2 – 5x + 9
= -x3 + 4x2 – 8x + 13

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प्रश्न 16.
x3 – 7x2 + 5 प्राप्त करने के लिये बहुपद x4 – x2 + 2x + 3 में क्या जोडें?
हलः
माना x4 – x2 + 2x + 3 में A जोड़ा जाए जिससे x3 – 7x2 + 5 प्राप्त हो जाए।
x4 – x2 + 2x + 3 + A = x – 7x2 + 5
∴ A = x3 – 7x2 + 5 – x4 + x2 – 2x – 3
= -x4 + x3 – 6x2 – 2x + 2

प्रश्न 17.
-x2 + 3x3 – 2x + 4 प्राप्त करने के लिये बहुपद x2 – 3x3 + 2x – 4 में से क्या घटायें?
हलः
माना x2 – 3x3 + 2x – 4 में से A घटाया जाए जिससे –x2 + 3x3 – 2x + 4 प्राप्त हो।
x2 – 3x3 + 2x – 4 – A = -x2 + 3x3 – 2x + 4
∴ x2 – 3x3 + 2x – 4 + x2 – 3x3 + 2x – 4 = A
-6x3 + 2x2 + 4x – 8 = A

प्रश्न 18.
संख्या 2 प्राप्त करने के लिये बहपदं x3 – 3x2 + 2x – 1 से क्या घटायें?
हलः
माना x3 – 3x2 + 2x – 1 में से A घटाया जाए जिससे शेषफल 2 प्राप्त हो।
x3 – 3x2 + 2x – 1 – A = 2
x3 – 3x2 + 2x – 1 – 2 = A
x3 – 3x2 + 2x – 3 = A

प्रश्न 19.
संख्या 1 प्राप्त करने के लिये बहुपद x3 – 2x2 + 4x + 1 से क्या घटायें?
हलः
माना x3 – 2x2 + 4x + 1 में से A घटाया जाए जिससे शेषफल 1 प्राप्त हो।
x3 – 2x2 + 4x + 1 – A = 1
x3 – 2x2 + 4x + 1 – 1 = A
x3 – 2x2 + 4x = A

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प्रश्न 20.
बहुपद x4 – 3x3 + 2x + 6 व x4 – 3x2 + 6x + 2 के योग मे से x3 – 3x + 4 घटाइये।
हलः
योगफल = x4 – 3x3 + 2x + 6 + x4 – 3x2 + 6x + 2 = 2x4 – 3x3 – 3x2 + 8x + 8
अन्तर = 2x4 – 3x3 – 3x2 + 8x + 8 – (x3 – 3x + 4)
= 2x4 – 3x3 – 3x2 + 8x + 8 – x3 + 3x – 4 = 2x4 – 4x3 – 3x2 + 11x + 4

प्रश्न 21.
बहुपद x2 – 3x3 + 2x + 5 व 2x4 – 3x3 + 9x +12 के योग में से 5x3 – 3x2 + 8 घटाइये।
हलः
योगफल = x4 – 3x3 + 2x + 5 + 2x4 – 3x3 + 9x + 12 = 3x4 – 6x3 + 11x + 17
अन्तर = 3x4 – 6x + 11x + 17 – (5x3 – 3x2 + 8) = 3x4 – 6x3 + 11x + 17 – 5x3 + 3x2 – 8
= 3x4 – 11x3 + 3x2 + 11x + 9

प्रश्न 22.
यदि p(x) = x3 – x2 + 2 तथा g(x) = x +1 तब p(x) + g(x) तथा p(x) – g(x) की घात ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) p(x) = x3 – x2 + 2 तथा g(x) = x +1
p(x) + g(x) = x3 – x2 + 2 + x + 1 = x3 – x2 + x + 3
p(x) + g(x) की घात 3 है।।

(ii) p(x) – g(x) = x3 – x2 + 2 – x – 1 = x3 – x2 – x +1
p(x) – g(x) की घात 3 है।

प्रश्न 23.
निम्न बहुपद युग्मों का योग ज्ञात कीजिए।
(i) 3x2 + 5x – 2 ; -3x2 – 5x + 6
(ii) 3x2 -7x + 5; 6x3; + 5x – 7
(iii) x2 + x – 7; x3 + x2 + 3x + 4
(iv) x3 – 5x2 + x + 2; x3 – 3x2 + 2x + 1
(v) x6 – 3x4; x4 + x3 + 2x2 – 6
हलः
(i) योगफल = (3x2 + 5x – 2) + (-3x2 – 5x + 6) = 4
(ii) योगफल = (3x2 – 7x + 5) + (6x3 + 5x – 7) = 6x3 + 3x2 – 2x – 2
(iii) योगफल = (x2 + x -7) + (x3 + x2 + 3x + 4) = x3 + 2x2 + 4x – 3
(iv) योगफल = (x3 – 5x2 + x + 2) + (x3 – 3x2 + 2x + 1) = 2x3 – 8x2 + 3x + 3
(v) योगफल = (x6 – 3x4) + (x4 + x3 + 2x2 – 6) = x6 – 2x4 + x3 + 2x2 – 6

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प्रश्न 24.
निम्न में पहले बहुपद में से दूसरा बहुपद घटाइये।
(i) x3 + x + 1; 1 – x – x2
(ii) 6x3 +5x2 + 4x – 3; 4x3 – 2x2 + 7x – 1
(iii) x3 + x2 + x + 1; x3 – x2 + x – 1
(iv) x4 – 3x3 + 2x + 6; x4 – 3x3 – 6x + 2
(v) 3x7 – 2x2 + 3; x6 – 3x4 + x2 + x
हल:
(i) अन्तर = (x3 + x + 1) – (1 – x – x2) = x3 + x + 1 – 1 + x + x2 = x3 + x2 + 2x
= x(x2 + x + 2)

(ii) अन्तर = 6x3 + 5x2 + 4x – 3 – (4x3 – 2x2 + 7x – 1)
= 6x3 + 5x2 + 4x – 3 – 4x3 + 2x2 – 7x + 1 = 2x3 + 7x2 – 3x – 2

(iii) अन्तर = (x3 + x2 + x + 1) – (x3 – x2 + x – 1) = x3 + x2 + x + 1 – x3 + x2 – x + 1
= 2x2 +2

(iv) अन्तर = (x4 – 3x3 + 2x + 6) – (x4 – 3x3 – 6x + 2)
= x4 – 3x3 + 2x + 6 – x4 + 3x3 + 6x – 2 = 8x + 4

(v) अन्तर = (3x7 – 2x2 + 3) – (x6 – 3x4 + x2 + x)
= 3x7 – 2x2 + 3 – x + 3x4 – x2 – x = 3x7 – x6 + 3x4 – 3x2 – x + 3

प्रश्न 25.
निम्न बहुपदों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(i) x2 – 4x + 4; x – 2
(ii) x2 + 3x + 2; x2 + 3x +1
(iii) 3x3 + x2 + x; x + 2
(iv) 3x + 2; x2 + x + 1
हल:
(i) गुणनफल = (x2 – 4x + 4)(x – 2) = x3 – 2x2 – 4x+ 8x + 4x – 8 = x3 – 6x2 + 12x – 8

(ii) गुणनफल = (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x + 1)
= x4 + 3x3 + x2 + 3x3 + 9x2 + 3x + 2x2 + 6x + 2
= x4 + 6x3 + 12x2 + 9x + 2

(iii) गुणनफल = (3x3 + x2 + x)(x + 2) = 3x4 + 6x3 + x3 + 2x2 + x2 + 2x
=3x4 + 7x3 + 3x2 + 2x

(iv) गुणनफल = (3x + 2)(x2 + x + 1) = 3x3 + 3x2 + 3x + 2x2 + 2x + 2
= 3x3 +5x2 + 5x + 2

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