Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 15 Circle Ex 15.1

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 15 Circle Ex 15.1 वृत्त

Ex 15.1 Circle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
चित्र में O, वृत्त का केन्द्र, जीवा AB = 10 सेमी तथा व्यास AC = 26 सेमी है। जीवा AB की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए। [UP 2001, 03]
हल:

प्रश्न 2.
एक वृत्त की जीवा की लम्बाई 16 सेमी तथा वृत्त के केन्द्र से इसकी दूरी 6 सेमी है। तब वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 3.
वृत्त की एक जीवा की लम्बाई 8 सेमी तथा वृत्त के केन्द्र से इसकी दूरी 3 सेमी है। तब वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। [UP 2003]
हलः

प्रश्न 4.
वृत्त के लघु वृत्तखण्ड का कोण ज्ञात कीजिए। [UP 2000]
हलः
अधिक कोण

प्रश्न 5.
एक वृत्त का केन्द्र 0 तथा त्रिज्या OP = 10 सेमी है। जीवा PQ पर लम्ब OR की लम्बाई 6 सेमी है। तब PQ का मान ज्ञात कीजिए। [UP 2000]
हलः
समकोण ∆OPR में, (OP)² = (OR)² + (PR)²
(10)² = (6)² + (PR)²
100 = 36 + (PR)²
100 – 36 = (PR)²
∴ PR = = 8 सेमी
∴ जीवा PQ = 2 × PR = 2 × 8 = 16 सेमी

प्रश्न 6.
चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र है तथा OA = 5 सेमी।0 से AB पर लम्ब OC की लम्बाई 4 सेमी है तब जीवा AB का मान ज्ञात कीजिए। (UP 2009, 10, 11)
हलः
समकोण ∆OAC में,
(OA)² = (AC)² + (OC)²
(5)² = (AC)² + (4)²
25 = (AC)² +16
25 -16 = (AC)²
या (AC)² = 9
∴ AC = = 3 सेमी
∴ जीवा AB = 2 × AC = 2 × 3 = 6 सेमी

प्रश्न 7.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा एक जीवा AB = 24 सेमी है। जीवा की वृत्त के केन्द्र O से दूरी 5 सेमी है। तब वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए। (UP 2009)
हलः
समकोण ∆OAP में,
(OA)² = (OP)² + (AP)²
(OA)² = (5)² + (12)² (∵ AP = AB /2)
(OA)² = 25 +144 = 169
OA = = 13 सेमी
∴ वृत्त का व्यास = 2 × त्रिज्या
= 2 – 13 = 26 सेमी

प्रश्न 8.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा एक जीवा AB = 30 सेमी है तथा इसका व्यास AD = 34 सेमी है। जीवा AB की केन्द्र O से दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः

Ex 15.1 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 9.
एक 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 8 सेमी की एक जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए। [UP 2005]
हल:
वृत्त की त्रिज्या OP = 5 सेमी
∵ वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 10.
एक 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र से 3 सेमी की दूरी पर जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (UP 2006)
हलः
समकोण ∆OAM में,
(OA)² = (OM)² + (AM )²
(5)² = (3)² + (AM)²
25 = 9 + (AM)²
25 – 9 = (AM)²
16 = (AM)²
∴ AM = = 4 सेमी
∴ जीवा AB = 2 × AM = 2 × 4 = 8 सेमी

प्रश्न 11.
एक वृत्त की एक चाप दी गयी है। प्रदर्शित कीजिए कि वृत्त को पूरा कैसे किया जायेगा?
हलः
एक वृत्त का चाप AXB दिया है। वृत्त का केन्द्र ज्ञात करने के लिए AB को मिलाया। जीवा AB का लम्बार्द्धक खींचा, जो चाप को M बिन्दु पर काटता है। बिन्दु A अथवा B से कोई न्यूनकोण बनाती AY रेखा नीचे की ओर खींची। रेखा AY पर 90° का कोण बनाते हुए AX रेखा खींची जो AB के लम्बार्द्धक को बिन्दु O पर काटती है। अब बिन्दु 0 को केन्द्र मानकर OA त्रिज्या परकार में लेकर एक वृत्त खींचा जो दिये गये । चाप को ही पूर्ण करता है।

प्रश्न 12.
दिये गये वृत्त का केन्द्र ज्ञात करने की विधि बताइये।
हलः
(1) वृत्त पर तीन बिन्दु A, B,C लिए।
(2) AB तथा BC को मिलाया।
(3) AB तथा BC के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो एक-दूसरे को बिन्दु O पर
काटते हैं।
(4) बिन्दु O वृत्त का अभीष्ट केन्द्र है।

Ex 15.1 Circle लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 13.
चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र, त्रिज्या 5 सेमी तथा OP ⊥ AB, OQ ⊥ CD व AB||CD, AB = 6 सेमी, CD = 8 सेमी है। PQ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 14.
यदि वृत्त का व्यास उसकी प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है तब सिद्ध कीजिए कि उसकी जीवाऐं समान्तर हैं।
हलः
प्रथम स्थिति : यदि वृत्त की दो जीवाऐं वृत्त के एक ही ओर हैं।
∵ वृत्त के केन्द्र तथा जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
∠OMA = ∠OMB = 90° (प्रत्येक 90°)
∠ONC = ∠OND = 90° (प्रत्येक 90°)
∠OMA = ∠ONC = 90° (संगत कोण)
तथा
∠OMB = ∠OND = 90° (संगत कोण)
परन्तु ये संगत कोण तभी बराबर होंगे जबकि AB ||CD
द्वितीय स्थिति : यदि वृत्त की दोनों जीवाऐं वृत्त के केन्द्र के विपरीत ओर हैं।
∵ वृत्त के केन्द्र तथा जीवा के मध्य बिन्दु को मिलाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।
∠OMA = ∠OMB = 90° (प्रत्येक 90°)
∠ONC = ∠OND = 90° (प्रत्येक 90°)
∠OMA = ∠OND = 90° तथा
∠OMB = ∠ONC = 90°
परन्तु ये कोण एकान्तर कोण हैं। ये कोण एकान्तर तभी हो सकते हैं जबकि
AB||CD
∵ वृत्त की जीवायें AB तथा CD समान्तर होंगी।

प्रश्न 15.
दो समान वृत्त परस्पर P व Q बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। P से एक रेखा, वृत्तों पर बिन्दु A व B से मिलती है। सिद्ध कीजिए कि QA = QB
हलः
चाप PQ दोनों वृत्तों में उभयनिष्ठ हैं।
∴ ∠QAP = ∠QBP
PQ उभयनिष्ठ जीवा
तथा
∠APQ = ∠QPB
(वृत्तों के शेष कोणों द्वारा बने कोण)
अतः ∆APQ ≅ ∆BPQ
∴ QA = QB