Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 14 Parallelogram and Triangles Ex 14.1

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 14 Parallelogram and Triangles Ex 14.1 समान्तर चतुर्भुज व त्रिभुज के क्षेत्रफल

Ex 14.1 Parallelogram and Triangles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण इसे कितने भागों में विभक्त करते हैं?
हलः
समान्तर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को दो बराबर भागों में काटते हैं।

प्रश्न 2.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल इसके विकर्णों के गुणनफल से कितने गुना होगा?
हलः
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ विकर्णों का गुणनफल

प्रश्न 3.
यदि माध्यिका किसी त्रिभुज को दो भागों में बाँटती है तो इनके क्षेत्रफल में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि ∆ में माध्यिका ∆ को दो भागों में बाँटती है तो उनके क्षेत्रफल समान होंगे।

प्रश्न 4.
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ समान्तर भुजाओं का योगफल × ऊँचाई

प्रश्न 5.
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ विकर्णों का गुणनफल

Ex 14.1 Parallelogram and Triangles लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

प्रश्न 6.
किसी समलम्ब चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC व BD (AB||DC) बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि ∆AOD का क्षेत्रफल = ∆BOC का क्षेत्रफल। [NCERT]
हलः
ज्ञात है: AB||DC जो एक-दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है: ar(∆AOD) = ar(∆BOC)
उपपत्तिः एक ही आधार और दो समान्तर रेखाओं के बीच बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं।
∴ ∆ABD का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल …(1)
दोनों पक्षों से ∆AOB का क्षेत्रफल घटाने पर
∆ABD का क्षेत्रफल – ∆AOB का क्षेत्रफल
= ∆ABC का क्षेत्रफल – ∆AOB का क्षेत्रफल
∴ ∆AOD का क्षेत्रफल = ∆BOC का क्षेत्रफल

प्रश्न 7.
(i) चित्र (i) में दिये गये चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(ii) चित्र (ii) में दिये गये समलम्ब चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हलः

प्रश्न 8.
चित्र में BD, चतुर्भुज ABCD का विकर्ण है। सिद्ध कीजिए कि 5 सेमी ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हलः

∠CDB = ∠DBA = 900
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।
∴ AB|| DC
∆ABD तथा ∆BCD में, AB = DC = 5 सेमी
BD (उभयनिष्ठ)
∴ ∠ABD = ∠BDC (प्रत्येक समकोण)
∴ ∆ABD ≅ ∆BDC
∠ADB = ∠DBC (परन्तु ये एकान्तर कोण हैं)
∴ AD||BC
तथा AD = BC
∴ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AB × BD = 5 × 7 = 35 सेमी²

प्रश्न 9.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। BC को L तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि BC = CL, रेखा AL, CD से बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि
ar(∆BCM) = ar(∆DML)
हलः

प्रश्न 10.
त्रिभुज ABC में AB = AC, BC पर कोई बिन्दु O है। बिन्दु O से OL व OM क्रमश: AC व AB पर लम्ब है। सिद्ध कीजिए कि OL + OM = C से AB पर लम्ब की लम्बाई।
हलः

प्रश्न 11.
∆ABC में बिन्दु D, BC का तथा E, AD का मध्य बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि ∆BED का क्षेत्रफल = $\frac{1}{4}$ × ∆ABC का क्षेत्रफल [NCERT]
हल:
D, भुजा BC का मध्य बिन्दु है। अत: AD इसे दो समान त्रिभुजों में बाँटता है। इसी प्रकार AD का मध्य बिन्दु E है, B को E से मिलाया।
∴ ∆ABE का क्षेत्रफल = ∆BED का क्षेत्रफल
∴ ∆ABC का क्षेत्रफल = ∆ADC का क्षेत्रफल + ∆ABD का क्षेत्रफल
∵ ∆ABC का क्षेत्रफल = 2∆BED का क्षेत्रफल + 2∆BED का क्षेत्रफल = 4∆BED का क्षेत्रफल
∴ ∆BED का क्षेत्रफल = $\frac{1}{4}$ ∆ABC का क्षेत्रफल

प्रश्न 12.
चित्र में, ABCD एक चतुर्भुज इस प्रकार है कि विकर्ण BD = 20 सेमी। यदि AL ⊥ BD व CM ⊥ BD इस प्रकार हैं कि AL = 10 सेमी व CM = 5 सेमी है। चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
चित्र में, समलम्ब चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 14.
चित्र में, समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB = 7 सेमी, AD = BC = 5 सेमी, DC = x सेमी। AB व DC के बीच की दूरी 4 सेमी है। तब x का मान व ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल पूरी लम्बाई के त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ होगा।
हलः

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि a भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ होता है।
हलः

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।
हलः

ज्ञात हैः समचतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा ये विकर्ण परस्पर लम्ब हैं।
सिद्ध करना है: समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ × AC × BD

प्रश्न 18.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं BC व AD पर क्रमशः बिन्दु E व F हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज AED व DFC के क्षेत्रफल बराबर होंगे।
हलः
ज्ञात है: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें BC पर बिन्दु E तथा AD पर बिन्दु F हैं।

सिद्ध करना है: ∆AED का क्षेत्रफल = ∆DFC का क्षेत्रफल
उपपत्तिः एक ही आधार तथा दो समान्तर रेखाओं के बीच बने दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल – समान होते हैं।
∆AED का क्षेत्रफल = ∆DFC का क्षेत्रफल

प्रश्न 19.
चित्र में, चतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण इसे दो समान क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभक्त करता है। सिद्ध कीजिए कि यह एक समान्तर चतुर्भुज है।
हलः
विकर्ण BD, समान्तर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटता है।
∆ABD का क्षेत्रफल = ∆BCD का क्षेत्रफल
∆ABD ≅ ABCD

∴ AB = DC तथा AD = BC तथा ∠ABD = ∠BDC परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।
∴ AB || DC
∴ विकर्ण AC, समान्तर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटता है।
∆ADC का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल
∆ADC ≅ ∆ABC
∴ ∠CAB = ∠DCA
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं
∴ AD|| BC
∴ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 20.
चित्र में, समान्तर चतुर्भुज PSDA में PQ = QR = RS तथा AP||BQ||CR तो सिद्ध कीजिए कि
∆PQE का क्षेत्रफल = ∆CFD का क्षेत्रफल (NCERT Exemplar)

हलः
ज्ञात हैः PSDA एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें PQ = QR = RS तथा AP|| BQ||CR
सिद्ध करना हैः क्षेत्रफल (∆PQE) = क्षेत्रफल (∆CFD)
उपपत्तिः ∆PQE तथा ∆CFD में,
PQ = CD (ज्ञात है)
∠EPQ = ∠FDC (एकान्तर कोण)
∠PQE = ∠FCD
(∵ ∠PQB = ∠PRC (संगत कोण), ∠PRC = ∠QBC, ∠QBC = ∠FCD, ∠PQB = ∠FCD)
अतः
∆PQE ≅ ∆DFB
∆PQE का क्षेत्रफल = ∆FCD का क्षेत्रफल

प्रश्न 21.
चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। तो सिद्ध कीजिए कि ar(∆BCP) = ar(∆DPQ) [NCERT]
हल:

प्रश्न 22.
∆ABC में, P भुजा BC पर कोई बिन्दु है। एक रेखा CQ||AP इस प्रकार खींचे कि यह Q पर BA से मिले। सिद्ध कीजिए कि
ar(∆BQP) = ar(∆ABC)
हल:

∵ ∆PAC तथा ∆PAQ एक ही आधार तथा दो समान्तर भुजाओं के बीच बने है।
∆PAC का क्षेत्रफल = ∆PAQ का क्षेत्रफल
∆ABP का क्षेत्रफल दोनों पक्षों में जोडने पर
∆ABP का क्षेत्रफल + ∆PAC का क्षेत्रफल = ∆PAQ का क्षेत्रफल + ∆ABP का क्षेत्रफल
∆ABC का क्षेत्रफल = ∆PBQ का क्षेत्रफल

प्रश्न 23.
चित्र में, समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB||DC व DC = 40 सेमी, AB = 60 सेमी हैं। यदि X व Y क्रमशः AD व BC के मध्य बिन्दु हैं तो सिद्ध कीजिए कि
(i) XY = 50 सेमी
(ii) DCYX एक समलम्ब चतुर्भुज है।
(iii) समलम्ब चतुर्भुज DCYX का क्षेत्रफल

हल:

प्रश्न 24.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC के समान्तर XY एक रेखा है। यहाँ BE|| AC व CF|| AB बढ़ाने पर XY से क्रमशः E व F पर मिलती हैं। सिद्ध कीजिए। कि ar(∆ABE) = ar(∆ACF) [NCERT]
हलः
दिया है: XY एक रेखा है जो ∆ABC में BC के समान्तर है तथा BE|| AC तथा
CF|| AB| AB रेखा XY को E तथा F पर काटती है।
सिद्ध करना है: ∆ABE का क्षेत्रफल = ∆ACE का क्षेत्रफल
उपपत्ति: ∆ABE तथा ∆ACF में,
∠BAC = ∠ACF (एकान्तर कोण)
परन्तु ∠BAC = ∠ABE (एकान्तर कोण)
∠ABE = ∠ACF
BE = CF (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएं)
तथा AB = AC
अतः
∆ABE ≅ ∆ACF
∴ ∆ABE का क्षेत्रफल = ∆ACF का क्षेत्रफल

प्रश्न 25.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB||CD तथा L, BC का मध्य बिन्दु है। L से एक रेखा PQ|| AD इस प्रकार खींचे कि यह AB से P तथा DC से Q पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि
ar (समलम्ब ABCD) = ar(समान्तर चतुर्भुज APQD) (NCERT Exemplar)
हलः
ज्ञात है: ABCD एक समलम्ब है जहाँ AB||CD तथा L, BC का मध्य बिन्दु है, PQ|| AD खींची गयी है जो AB को P तथा BC को Q पर काटती है।

सिद्ध करना है: समलम्ब ABCD का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज APQD का क्षेत्रफल
उपपत्ति: ∆CLQ तथा ∆LPB में,
CL = LB (ज्ञात है)
∠BCQ = ∠CBP (एकान्तर कोण)
∠CLQ = ∠PLB (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः
∆CLQ = ∆LPB
∴ ∆CLQ का क्षेत्रफल = ∆LPB का क्षेत्रफल
आकृति APLCD + ∆LPB का क्षेत्रफल = आकृति APLCD + ∆CLQ का क्षेत्रफल
समलम्ब ABCD का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज APQD का क्षेत्रफल

प्रश्न 26.
चित्र में, ABCD व AEFD दो समान्तर चतुर्भुज हैं। सिद्ध कीजिए कि ।
(i) PE = FQ
(ii) ar(∆PEA) = ar(∆QFD)
हलः

ज्ञात है: ABCD तथा AEFD दो समान्तर चतुर्भुज हैं।
सिद्ध करना है:
(i) PE = FQ
(ii) ∆PEA का क्षेत्रफल = ∆QFD का क्षेत्रफल
उपपत्तिः ∆PEA तथा ∆FQD में
AE||DF तथा EQ तिर्यक रेखा काटती है।
∠AEP = ∠DFQ (संगत कोण)
AE = DF (समान्तर चतुर्भुज AEFD की भुजाएं)
तथा ∠EAP’= ∠FDQ (∵ AB||DC)
अतः ∆PEA ≅ ∆FQD
∴ PE = FQ तथा ∆PEA का क्षेत्रफल = ∆FQD का क्षेत्रफल

प्रश्न 27.
चित्र में, OCDE एक 10 सेमी त्रिज्या के वृत्त के एक चतुर्थाश में एक आयत है। यदि OE $=2 \sqrt{5}$ है तो आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः
समकोण ∆OED में,
OD² = OE² + ED²
(10)² = (275)² + ED²
100 = 20 + ED²
100 – 20 = ED

80 = ED²

प्रश्न 28.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC व BD बिन्दु O पर मिलते हैं। AD के मध्य बिन्दु से एक
रेखा MH खींचे जो DB से समान्तर है तथा A0 से H पर मिलती है तथा MH || AO, DO से K पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि

हलः

Ex 14.1 Parallelogram and Triangles बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक समलम्ब चतुर्भुज की दो समांतर भुजाएँ क्रमशः 1 मी और 2 मी हैं तथा इनके बीच की लम्बवत् दूरी 6 मी है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है-
(a) 9 मी²
(b) 18 मी²
(c) 12 मी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 2.
एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB = 20 सेमी भुजाओं AB और DC की संगत ऊँचाईयाँ क्रमश: 14 सेमी तथा 10 सेमी हैं। तब AD की लम्बाई =
(a) 26 सेमी
(b) 28 सेमी
(c) 25 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 20 × 14
= 280 वर्ग सेमी

समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 10 × AD
10 × AD = 280
AD = 28 सेमी
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 3.
यदि एक वर्ग और एक समचतुर्भुज समान आधार पर है तथा समान समांतरों के बीच स्थित है तब वर्ग और समचतुर्भुज के क्षेत्रफलों का अनुपात है-
(a) 1 : 2
(b) 1 : 3
(c) 1 : 1
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
∵ एक ही आधार पर तथा समान समांतरों के बीच बने समान्तर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं।
अतः वर्ग और समचतुर्भुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 1
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 4.
एक समचतुर्भुज की एक भुजा और एक विकर्ण क्रमशः 5 सेमी और 8 सेमी हैं। तब समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है
(a) 20 सेमी²
(b) 22 सेमी²
(c) 24 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
AB = BC = CD = DA = 5 सेमी, BD = 8 सेमी समचतुर्भुज में शीर्ष से विकर्ण पर डाला गया लम्ब, विकर्ण को समद्विभाजित करता है। तब

प्रश्न 5.
यदि एक त्रिभुज और एक समांतर चतुर्भुज समान आधार पर हैं तथा समान समांतरों के बीच स्थित हैं तब त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफलों का अनुपात है- (NCERT Exemplar)
(a) 1 : 2
(b) 1 : 1
(c) 1 : 3
(d) 1 : 4
हलः

प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में एक समांतर चतुर्भुज ABCD है जिसमें DC = 6 सेमी तथा AE ⊥ DC, AE = 4 सेमी तब
∆ DCF का क्षे० =
(a) 10 सेमी²
(b) 24 सेमी²
(c) 12 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

वर्ग सेमी अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
संलग्न चित्र में, एक समांतर चतुर्भुज ABCD है। यदि (∆BFC) का क्षेत्रफल = 40 सेमी² तब (∆AEB) का क्षेत्रफल =
(a) 30 सेमी²
(b) 40 सेमी²
(c) 20 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

∵ दो समान्तर रेखाओं के बीच बने त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान होता है। अतः ∆AEB का क्षेत्रफल = ∆BFC का क्षेत्रफल = 40 वर्ग सेमी
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 8.
यदि एक ∆ABC में,E माध्यिका AD का मध्य बिंदु है तब ∆BED और ∆ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात होगा-
(a) 1 : 2
(b) 1 : 4
(c) 2 : 1
(d) 4 : 1
हलः

अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 9.
∆ABC में, D, E तथा F क्रमशः BC, CA और AB के मध्य बिंदु हैं यदि (∆ABC) का क्षेत्रफल = 56 सेमी²
तब ∆DEF का क्षेत्रफल =
(a) 28 सेमी²
(b) 26 सेमी²
(c) 21 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 10.
यदि P, Q,R और S क्रमशः एक समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं तथा (||^gm PQRS) का क्षे० = 32.5 सेमी² तब (||^gm ABCD) का क्षेत्रफल =
(a) 65 सेमी²
(b) 130 सेमी²
(c) 135 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं ।
हलः

प्रश्न 11.
एक ∆ABC में, AD एक माध्यिका है, E, माध्यिका का मध्य बिंदु है। यदि (∆BED) का क्षेत्रफल = 20 सेमी² तब (∆ABC) का क्षेत्रफल =
(a) 20 सेमी²
(b) 10 सेमी²
(c) 60 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
प्रश्न संख्या 8 से

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 12.
संलग्न चित्र में, यदि समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 30 सेमी है तब शीर्षलम्ब AQ की लम्बाई है-
(a) 6 सेमी
(b) 5 सेमी
(c) 4 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = BC × AQ
30 = 6 × AQ

अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 13.
संलग्न चित्र में, AD माध्यिका है, तथा AC पर कोई बिन्दुE इस प्रकार है, कि ∆ADE का क्षेत्रफल : ∆ABD का क्षेत्रफल = 2 : 3 तब (∆EDC) का क्षेत्रफल : ∆ABC का क्षेत्रफल =
(a) 1 : 2
(b) 1 : 3
(c) 1 : 4
(d) 1 : 6
हलः

अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 14.
संलग्न चित्र में, एक समांतर चतुर्भुज ABCD है तब (∆APB) का क्षेत्रफल =
(a) 12 सेमी²
(b) 10 सेमी²
(c) 16 सेमी²
(d) 18 सेमी²
हल:

प्रश्न 15.
एक बराबर आधार के दो समांतर चतुर्भुज हैं तथा समान समांतरों के बीच स्थित हैं, उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है
(NCERT Exemplar)
(a) 1 : 1
(b) 1 : 2
(c) 2 : 1
(d) 1 : 3
हलः
1 : 1
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 16.
एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु त्रिभुज के किसी शीर्ष को चौथा बिंदु मानकर बने एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल- (NCERT Exemplar)
(a) $\frac{1}{2}(\Delta A B C)$ का क्षेत्रफल
(b) (∆ABC) का क्षेत्रफल
(c) $\frac{1}{3}(\Delta A B C)$ का क्षेत्रफल
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 17.
एक त्रिभुज की माध्यिका इसे दो में विभाजित करती है- (NCERT Exemplar)
(a) सम त्रिभुजों
(b) बराबर क्षेत्रफलों के त्रिभुजों
(c) सर्वांगसम त्रिभुजों
(d) समद्विबाहु त्रिभुज
हलः
बराबर क्षेत्रफलों के त्रिभज।
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 18.
एक समचतुर्भुज जिसके विकर्ण 16 सेमी और 12 सेमी हैं, की आसन्न भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति का क्षेत्रफल है-
(a) 48 सेमी²
(b) 24 सेमी²
(c) 96 सेमी²
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 19.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD है जिसमें AB||DC के विकर्ण AC और BD, परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं ∆AOD के क्षेत्रफल के बराबर क्षे० का त्रिभुज है-
(a) BOC
(b) AOB
(c) DOC
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

प्रश्न 20.
एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाईयाँ 12 सेमी तथा 16 सेमी हैं। समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है
(a) 196 सेमी²
(b) 96 सेमी²
(c) 98 सेमी²
(d) 144 सेमी²
हलः

अतः विकल्प (b) सही है।

Ex 14.1 Parallelogram and Triangles स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु 0 पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AOD का क्षेत्रफल = BOC का क्षेत्रफल तो सिद्ध कीजिए कि ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है।
हलः

∵ ∆AOD का क्षेत्रफल = ∆BOC का क्षेत्रफल ….. (1)
दोनों पक्षों में ADOC जोड़ने पर
∆AOD का क्षेत्रफल + ∆DOC का क्षेत्रफल = ∆BOC का क्षेत्रफल + ∆DOC का क्षेत्रफल
∴ ∆ADC का क्षेत्रफल = ∴BCD का क्षेत्रफल
एक ही आधार पर बने दो त्रिभुज समान क्षेत्रफल के हैं तो वे समान्तर भुजाओं के बीच बनेगें। अत: AB||DC तथा AD व BC असमान्तर रेखायें हैं।
अतः चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज होगा।

प्रश्न 2.
∆ABC की भुजा AB का मध्य बिन्दु D है। BC पर कोई बिन्दु P है। CQ, PD के समान्तर है तो सिद्ध कीजिए कि PQ, ∆ABC को समद्विभाजित करती है।
हलः
ज्ञात है: बिन्दु D, भुजा AB का मध्य बिन्दु है। P, BC पर कोई बिन्दु है तथा CQ||PD
सिद्ध करना है: PQ, AABC को समद्विभाजित करता है।

∴ DPCQ एक समान्तर चतुर्भुज है तथा PQ रेखा ∆ABC को समद्विभाजित करती है।

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि एक समान्तर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के एक युग्म D के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड, इसे दो बराबर समान्तर चतुर्भुजों में बाँटता है।
हल:

ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है यदि M तथा N समान्तर चतुर्भुज की भुजाओं AB तथा DC के मध्य बिन्दु हैं।

AB||DC
∴ AM || DN तथा MB||NC
अत: AMND तथा MBCN भी समान्तर चतुर्भुज होंगे।
इसी प्रकार,

इस चित्र में भी सिद्ध कर सकते हैं कि ABNM तथा DCNM भी समान्तर चतुर्भुज होंगे। इतिसिद्धम्

प्रश्न 4.
किसी समलम्ब चतुर्भुज में बडी भुजा का मध्य बिन्दु दूसरी बडी भुजा के बाहरी बिन्दु से मिलकर जो त्रिभुज बनाता है। सिद्ध कीजिए कि उसका क्षेत्रफल, समलम्ब चतुर्भुज का आधा होगा।

हलः
समलम्ब की भुजा AD का मध्य बिन्दु E से खींची गयी रेखा इसे दो समान क्षेत्रफल वाले समलम्ब में बाँटती है तथा समलम्ब EFCD का क्षेत्रफल = 2. ∆EFC का क्षेत्रफल …(1)
समलम्ब EFBA का क्षेत्रफल = 2. ∆EFB का क्षेत्रफल …(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
समलम्ब EFCD का क्षेत्रफल + समलाब EFB का क्षेत्रफल = 2∆EFC का क्षेत्रफल + 2∆EFB का क्षेत्रफल
समलम्ब ABCD का क्षेत्रफल = 2(∆EFB + ∆EFC का क्षेत्रफल)
= 2. ∆BCE का क्षेत्रफल

प्रश्न 5.
दो बिन्दु P व Q, एक समान्तर चतुर्भुज ABCD की क्रमशः भुजाओं DC व AD पर स्थित हैं। दर्शाइए कि (NCERT) (∆APB) का क्षेत्रफल = (∆BQC) का क्षेत्रफल
हल:

∆APB का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल …(1)
तथा ∆BQC का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
समीकरण (1) व (2) की तुलना से
∆APB का क्षेत्रफल = ∆BQC का क्षेत्रफल

प्रश्न 6.
बिन्दु D और E, ∆ABC की क्रमशः भुजाओं AB और AC पर इस प्रकार हैं कि (∆DBC) का क्षेत्रफल = (∆EBC) का क्षेत्रफल, तो सिद्ध कीजिए कि
DE||BC
हल:
∆DBC तथा ∆EBC क्षेत्रफल में समान हैं जिनका आधार BC समान है।
∆DBC के बिन्दु D से डाला गया लम्ब = ∆EBC के बिन्दु E से डाला गया लम्ब
तथा ∆DBC तथा ∆EBC एक ही समान्तर रेखाओं के बीच बने हैं।

प्रश्न 7.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD की दो भुजाओं को किसी बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। A से, तथा CP के समान्तर एक रेखा, CB के बढ़े भाग Q पर मिलती है तथा तब पूर्ण समान्तर चतुर्भुज PBQR है तो दर्शाइए कि
(ABCD) का क्षेत्रफल = (PBQR) का क्षेत्रफल
हल:

प्रश्न 8.
एक ∆ABC की भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु क्रमश: D, E व F हैं। तो दर्शाइए कि
(i) BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) (DEF) का क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} \times$ (ABC) का क्षेत्रफल
(iii) (BDEF) का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times$ (ABC) का क्षेत्रफल
हलः
∴ D तथा E, भुजा BC तथा AC के मध्य बिन्दु हैं।
∴ DE || BA या DE || BF
इसी प्रकार FE || BD अत: BDEF एक समान्तर चतुर्भुज है इसी प्रकार DCEF तथा AFDE समान्तर चतुर्भुज है। अब DF, समान्तर चतुर्भुज BDEF का विकर्ण है।
ar(∆BDF) = ar(∆DEF) …(1)
DF, समान्तर चतुर्भुज DCEF का विकर्ण है।

∴ ar(∆DCE) = ar(∆DEF)

प्रश्न 9.
आधार के एक ∆ABC में, कोई बिंदु D लिया गया है तथा AD को तक बढाया है जो AD के बराबर, DE बना रहा है तो दर्शाइए कि, (∆ABC) का क्षेत्रफल का क्षेत्रफल
हल:

प्रश्न 10.
संलग्न चित्र में, समान्तर चतुर्भुज ABCD, ABFE तथा CDEF हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
(∆ADE ) का क्षेत्रफल = (∆BCF) का क्षेत्रफल
हल:

प्रश्न 11.
यदि एक त्रिभुज और एक समान्तर चतुर्भुज समान आधार पर है तथा समान समान्तरों के बीच स्थित है
तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल, समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के आधे के बराबर है।
हलः

प्रश्न 12.
एक समान्तर चतुर्भुज की भुजा BC पर, एक बिन्दु E लिया गया है। AE और DC को बढ़ाने पर, ये F पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए कि (∆ADF) का क्षेत्रफल = (ABFC) का क्षेत्रफल (NCERT Exemplar)

हलः

प्रश्न 13.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण, एक बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। O से, एक रेखा खींची गई है जो AD को P पर तथा BC को Q पर प्रतिच्छेद करती है तो दर्शाइये कि PQ समान्तर चतुर्भुज को दो बराबर क्षेत्रफलों के भागों में विभाजित करती है। (NCERT Exemplar)
हलः

प्रश्न 14.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD है जिसमें AB || DC, DC = 30 सेमी तथा AB = 50 सेमी है यदि AD और BC के मध्य बिन्दु क्रमश: X और Y हैं तो सिद्ध कीजिए कि (NCERT Exemplar)

हलः

प्रश्न 15.
यदि एक त्रिभुज की माध्यिकाएं G पर प्रतिच्छेद करती हैं तो दर्शाइए कि
(∆AGB) का क्षेत्रफल = (∆AGC) का क्षेत्रफल = (∆BGC) का क्षेत्रफल = $\frac{1}{3}$ (∆ABC) का क्षेत्रफल (NCERT Exemplar)
हलः

अतः ar(∆AGB) = ar(∆AGC) = ar(∆BGC) = $\frac{1}{3}$ (∆ABC)

प्रश्न 16.
एक त्रिभुज ABC की माध्यिकाएं BE तथा CF, G पर प्रतिच्छेद करती हैं दर्शाइए कि ∆GBC का क्षेत्रफल = चतुर्भुज AFGE का क्षेत्रफल (NCERT Exemplar)
हलः

प्रश्न 17.
एक त्रिभुज ABC में, यदि AB और AC पर क्रमशः बिन्दु L और M इस प्रकार है कि LM ||BC तो सिद्ध कीजिए कि (∆LOB) का क्षेत्रफल = (∆MOC) का क्षेत्रफल (NCERT Exemplar)
हलः

प्रश्न 18.
एक त्रिभुज ABC में, D, AB का मध्य बिन्दु है। BC पर कोई बिन्दु P है। cQ||PD, AB से Q पर मिलती
है। तो सिद्ध कीजिए कि (∆BPQ) का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}$ (∆ABC) का क्षेत्रफल
हलः
रचनाः CD को मिलाया।

प्रश्न 19.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है तथा AC के समान्तर DE . खींची गई है जो BC के बढे भाग E पर प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध कीजिए कि

हलः

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 14 Parallelogram and Triangles Ex 14.1 समान्तर चतुर्भुज व त्रिभुज के क्षेत्रफल

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