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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.4 चतुर्भज
Ex 13.4 Quadrilateral अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)
प्रश्न 1.
किसी आयत के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हलः
आयत का प्रत्येक कोण 90° होता है।
प्रश्न 2.
वर्ग की चारों भुजाओं में निम्न में से कौन-सा सम्बन्ध है?
(a) असमान
(b) समान
(c) दो समान हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
वर्ग की चारों भुजाएँ समान होती हैं। अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 3.
समबाहु त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बना त्रिभुज कौन-सा त्रिभुज होता है?
हलः
समबाहु ∆ की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर एक समबाहु त्रिभुज बनता है।
प्रश्न 4.
एक समान्तर चतुर्भुज में यदि विकर्ण बराबर तथा परस्पर लम्ब हों तो यह किस प्रकार का त्रिभुज होगा?
हलः
वह समान्तर चतुर्भुज में जिसमें विकर्ण समान लम्बाई के तथा एक दूसरे के लम्बवत् होते हैं, वह वर्ग होता है।
प्रश्न 5.
समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ होती हैं-
(a) समान्तर
(b) बराबर
(c) (a) व (b) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं समान तथा समान्तर होते हैं। अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 6.
निम्न में से किसमें विकर्ण परस्पर लम्बवत् होते हैं?
(a) आयत
(b) समचतुर्भुज
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
आयत में विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत होते हैं। अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 7.
∆ABC में, यदि AD माध्यिका व E, AD का मध्य बिन्दु है। BE को मिलाया तथा ऐसे बढ़ाया कि यह AC
को F पर प्रतिच्छेद करती है तब AF का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 8.
समचतुर्भुज के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर बनने वाली आकृति है (NCERT Exemplar)
(a) समचतुर्भुज
(b) आयत
(c) वर्ग
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समचतुर्भुज के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर आयत बनता है। अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 9.
वर्ग की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर बनने वाला चतुर्भुज है-
(a) वर्ग
(b) आयत
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
वर्ग के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर बना चतुर्भुज वर्ग होता है। अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 10.
समान्तर चतुर्भुज में यदि एक कोण 90° है तो यह है एक-
(a) समचतुर्भुज
(b) आयत
(c) वर्ग
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
यदि समान्तर चतुर्भुज का एक कोण 90° है तो समान्तर चतुर्भुज एक आयत होगा। अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 11.
एक समचतुर्भुज का एक कोण यदि 90° है तो यह है एक-
(a) समलम्ब चतुर्भुज
(b) वर्ग
(c) आयत
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
यदि किसी समचतुर्भुज का एक कोण 90° है तो वह वर्ग होगा। अत: विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 12.
निम्न में से किसमें सभी चारों भुजाएँ बराबर होगी ?
(a) वर्ग
(b) समचतुर्भुज
(c) (a) व (b) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
वर्ग तथा समचतुर्भुज की चारों भुजाएं समान होती हैं। अतः विकल्प (c) सही है।
Ex 13.4 Quadrilateral लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)
प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब हैं, तब यह एक समचतुर्भुज होता [NCERT]
हलः
ज्ञात हैः एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD बराबर हैं।
सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है
उपपत्ति: ∆ABC तथा ∆DCB में;
AB = CD (समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ)
BC (उभयनिष्ठ भुजा)
AC = BD (ज्ञात है)
अतः ∆ABC = ∆DCB
∴ ∠ABC = ∠DCB
समान्तर चतुर्भुज ABCD में तिर्यक रेखा BC के एक की ओर स्थित ∠ABC तथा ∠DCB का योगफल 180° होगा।
∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°
समान्तर चतुर्भुज का प्रत्येक कोण समकोण होता है।
∠ABC = 90° (∴ ∠ABC = ∠DCB)
∴ ABCD समचतुर्भुज है।
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब समद्विभाजक हैं तो वह एक समचतुर्भुज होता [NCERT]
हलः
ज्ञात है: एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे पर लम्ब हैं।
सिद्ध करना है: ABCD एक समचतुर्भुज है।
उपपत्तिः माना विकर्ण AC तथा BD एक दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं। समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
समान्तर चतुर्भुज ABCD में, OA = OC
∆AOD तथा ∆COD में, OA =OC (अभी सिद्ध किया है)
∠AOD = ∠COD (प्रत्येक समकोण)
OD उभयनिष्ठ
अतः ∆AOD ≅ ∆COD
AD = CD
अतः ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसकी क्रमागत भुजाएँ AD,CD बराबर हैं।
अतः ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण बराबर तथा समकोण पर समद्विभाजित हैं तो वह एक वर्ग होता है। [NCERT]
हलः
ज्ञात है: एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC एवं BD बराबर हैं तथा एक दूसरे पर लम्ब हैं।
सिद्ध करना है: ABCD एक वर्ग है।
उपपत्ति: माना विकर्ण AC व BD एक दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं।
∵ समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
समान्तर चतुर्भुज ABCD में |
OB = OD … (1)
∆AOB तथा ∆AOD में,
A0 उभयनिष्ठ
∠AOB = ∠AOD (प्रत्येक समकोण)
OB =OD [समी० (1) से]
अतः
∆AOB ≅ ∆AOD
AB = AD …(2)
परन्तु समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजायें होने के कारण
AB = CD तथा AD = BC …. (3)
समीकरण (2) तथा (3) से, AB = BC = CD = AD … (4)
अब ∆ABD तथा ∆BAC में, AB उभयनिष्ठ
AD = BC [समी० (4) से]
BD = AC (ज्ञात है)
∴ ∆ABD ≅ ∆BAC
∴ ∠DAB = ∠CBA
∴ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ सम्मुख भुजाएं AD एवं BC एक दूसरे के समान्तर हैं।
∴ AD तथा BC एक दूसरे के समान्तर हैं उन्हें तिर्यक रेखा AB क्रमशः A व B पर काटती हैं।
∴ तिर्यक रेखा AB के एक ही ओर स्थित अन्त:कोणों ∠DAB और ∠CBA का योग 180° होता है।
∠DAB + ∠CBA = 180° …(6)
समीकरण (5) व (6) से, ∠DAB + ∠CBA = 90° …(7)
∴ समीकरण (4) व (7) से प्रदर्शित होता है कि ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है। जिसकी सभी भुजाएं बराबर तथा प्रत्येक कोण समकोण है।
अत: ABCD एक वर्ग है।
प्रश्न 16.
त्रिभुज ABC की माध्यिका AD को X की ओर बढ़ाते हैं तो AD = DX तो सिद्ध कीजिए ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है।
हलः
ज्ञात है: ∆ABC में माध्यिका AD को बिन्दु X तक बढ़ाया गया है जिससे AD = DX
सिद्ध करना है: ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है।
रचना: BX तथा XC को मिलाया।
उपपत्तिः
AD = DX
BD = DC
∆ABD तथा ∆ADC में,
AD = DX (ज्ञात है)
BD = DC (ज्ञात है)
∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक समकोण)
अतः
∆ABD ≅ ∆ADC
AB = CX
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि BX = AC
इसलिए ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है।
प्रश्न 17.
त्रिभुज ABC में E व F क्रमशः AB व AC के मध्य बिन्दु हैं। BC पर एक शीर्ष लम्ब AP है। जो EF को
बिन्दु Q पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए AQ = PQ
हल:
Ex 13.4 Quadrilateral दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)
प्रश्न 18.
ABCD एक समचतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC, ∠A व ∠C को तथा विकर्ण BD, ∠B व ∠D को समद्विभाजित करते हैं। [NCERT]
हलः
ज्ञात है: ABCD एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD हैं।
सिद्ध करना है: ∠BAC = ∠DAC तथा ∠ACB = ∠ACD
तथा ∠ABD = ∠DBC तथा ∠ADB = ∠BDC
उपपत्ति: ∆ABC तथा ∆ADC में,
AB = DC (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
BC = AD (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
AC उभयनिष्ठ
अतः ∆ABC ≅ ∆ADC
∴ ∠BAC = ∠CAD तथा ∠BCA = ∠ACD
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि ∠ABD = ∠DBC तथा ∠ADB = ∠BDC
प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं। (NCERT)
हलः
ज्ञात है: A,B,C,D क्रमश: PQ, QR, RS तथा SP के मध्य बिन्दु हैं। AC तथा BD बिन्दु O पर अन्त:खण्ड खींचे गये हैं।
सिद्ध करना है: AO = CO तथा DO = OB
रचनाः AB, BC,CD तथा DA को मिलाया।
उपपत्तिः ∆PQR में, A, B PQ तथा QR के मध्य बिन्दु हैं।
AB||PR
∆PSR में, DC||PR समी० (1) व (2) से AB||DC तथा AB = DC
समान्तर चतुर्भुज ABCD में, AO = CO तथा DO = BO
प्रश्न 20.
ABCD एक समचतुर्भुज है तथा P, Q,R व S क्रमश: AB, BC, CD व DA के मध्य बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक आयत है।
हल:
∆ABC में P तथा Q, AB व BC के मध्य बिन्दु हैं। AC को मिलाया।
इसी प्रकार ∆ADC में R तथा S,CD तथा DA के मध्य बिन्दु हैं।
समी० (1) व (2) से PQ|| RS तथा PQ = SR
चतुर्भुज PQRS में, PQ तथा SR समान तथा समान्तर हैं।
∴ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ AB, BC समचतुर्भुज की भुजाएं हैं।
प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए कि यदि चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान हो तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है। [NCERT]
हलः
Ex 13.4 Quadrilateral इतिसिद्धम् बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)
सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक समचतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति है एक-
(a) आयत
(b) वर्ग
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
एक आयत।
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 2.
एक वर्ग की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति है, एक-
(a) आयत
(b) वर्ग
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
वर्ग। अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 3.
यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं तब आकृति है एक-
(a) आयत
(b) समान्तर चतुर्भुज
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समचतुर्भुज। अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 4.
निम्न में से कौन-सी आकृति के विकर्ण बराबर हैं?
(a) आयत
(b) समान्तर चतुर्भुज
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
आयत। अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 5.
यदि एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के दो आसन्न कोण ∠A = ∠B है, तब समान्तर चतुर्भुज है-
(a) आयत
(b) समलम्ब चतुर्भुज
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
आयत। अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 6.
एक समचतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकति है, एक-
(a) वर्ग
(b) आयत
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समचतुर्भुज। अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 7.
यदि एक समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ क्रमशः a और b हैं, तो असमान्तर भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा है-
(a)
(b)
(c)
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
असमान्तर भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा =
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 8.
समान आधार व समान समान्तर भुजाओं पर दो समान्तर भुजाएं हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात-
(a) 1 : 2
(b) 2 : 1
(c) 1 : 1
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
1 : 1
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 9.
निम्न में से कौन-सा समान्तर चतुर्भुज के लिए सत्य है?
(a) विपरीत भुजाएँ बराबर हैं।
(b) विपरीत कोण बराबर हैं।
(c) विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
(d) सभी सत्य हैं।
हलः
सभी सत्य हैं। अतः विकल्प (d) सही है।
प्रश्न 10.
यदि एक चतुर्भुज के तीन कोणों की माप 56°,115° और 84° है तब चौथे कोण की माप है।
(a) 105°
(b) 100°
(c) 110°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∵ चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है। अतः
56+115+ 84+ X = 360°
x = 360° – 255
=105°
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 11.
यदि एक चतुर्भुज के कोण A,B,C और D अनुपात 3:7:6:4 के क्रम में लिये गये हैं तब ABCD है एक- (NCERT Exemplar)
(a) समचतुर्भुज
(b) समलम्ब चतुर्भुज
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
3x +7x+6x +4x = 360°
20x = 360°
x = 180
∠A = 3 × 18 = 54°,
∠B = 7 × 18 = 126°,
∠C = 6 × 18 = 108°,
∠D = 4 × 18 = 72°
∠A + ∠B = 180° तथा
∠C + ∠D = 180°
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 12.
एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°,90° और 75° है। चौथा कोण हैं (NCERT Exemplar)
(a) 60°
(b) 90°
(c) 120°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना चौथा कोण x° है। तब ।
75+ 90 + 75+ x = 360°
240 + x = 360°
x = 360°- 240°
x = 120°
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 13.
एक समान्तर चतुर्भुज का परिमाप 32 सेमी है। यदि छोटी भुजा 6.5 सेमी है तब बड़ी भुजा की माप है
(a) 9.5 सेमी
(b) 9 सेमी
(c) 8.5 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना बड़ी भुजा x है, तब परिमाप
32 = 2x + 2 × 6.5
32 = 2x + 13
2x = 32 – 13 ⇒ 2x = 19
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 14.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में यदि ∠A = 80° और ∠B =
(a) 100°
(b) 120°
(c) 130°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 15.
यदि एक समचतुर्भुज ABCD है तब ∠A – ∠C =
(a) 60°
(b) 90°
(c) 0
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
किसी समचतुर्भुज में यदि ∠A तथा ∠C, समकोण हों, तो
∠A – ∠C = 0
अतः विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 16.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि ∠DAC = 34° और ∠AOB = 75° तब ∠DBC =
(a) 34°
(b) 75°
(c) 41°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∴ ∠DAC = 34°
प्रश्न 17.
एक समचतुर्भुज ABCD इस प्रकार कि ∠ACB = 40° तब ∠ADB = (NCERT Exemplar)
(a) 50°
(b) 60°
(c) 90°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∴ ∠ACB = 40°
∴ ∠COB = 90°
अतः विकल्पं (a) सही है।
प्रश्न 18.
एक समान्तर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनी आकृति है एक-
(a) वर्ग
(b) समचतुर्भुज
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) आयत हलः आयत।
अतः विकल्प (d) सही है।
प्रश्न 19.
संलग्न चित्र में, एक समचतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि ∠ACB = 50° तब ∠ADB =
(a) 50°
(b) 60°
(c) 40°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
Ex 13.4 Quadrilateral स्वमल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)
प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली सरल रेखा, समान्तर भुजाओं के अन्य युग्म से समान्तर होती है।
हलः
∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
∴ AB||DC तथा AD|| BC
(i) ∵ AB||DC व DA व CB तिर्यक रेखा हैं।
मध्य बिन्दुओं E, F को मिलाने वाली रेखा EF के अन्त:खण्ड EM = MF
तथा मध्य बिन्दुओं G,H को मिलाने वाली रेखा GH के अन्त:खण्ड GM = MH होंगे।
अत: AB||GH|| DC तथा AD|| FE||BC होंगे।
प्रश्न 2.
एक समचतुर्भुज PQRS है। विकर्ण PR और QS, O पर प्रतिच्छेद करते हैं। तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने सभी चार कोण सर्वांगसम हैं।
हलः
∵ समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तथा समचतुर्भुज की चारों भुजाएं समान होती हैं।
PQ = QR = RS = SP
∆POQ, ∆POS, ∆QOR तथा ∆SOR भुजा-भुजा-भुजा प्रतिबन्ध से सर्वांगसम होंगे।
प्रश्न 3.
एक चतुर्भुज के कोण 3:5:9 : 13 के अनुपात में हैं। चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए। [NCERT]
हलः
माना चतुर्भुज के कोण = 3x, 5x, 9x, 13x
∵ चतुर्भुज के चारों कोणों का योगफल = 360°
3x + 5x + 9x + 13x = 360°
30x = 360°
∴ चतुर्भुज के कोण = 36°, 60°, 108°, 156°
प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं तथा एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। [NCERT]
हलः
प्रश्न 5.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि-
(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है। [NCERT]
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
हलः
AB||DC तथा AC तिर्यक रेखा काटती है।
∠1 = ∠3 (एकान्तर कोण )
AD||BC तथा AC तिर्यक रेखा काटती है।
∠2 = ∠4 (एकान्तर कोण)
∵ AC, ∠A का अर्द्धक है।
∴ ∠1 = ∠2
∴ ∠3 = ∠4
∴ सम्मुख कोण समान हैं तथा ABCD एक समचतुर्भुज है।
प्रश्न 6.
ABC एक समबाहु त्रिभुज है तथा L,M,N क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं तो दर्शाइये कि ∆LMN एक समबाहु त्रिभुज है।
हलः
माना समबाहु ∆ की भुजा AB = BC = CA = x सेमी
∵ किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर तथा उससे आधी होती है।
प्रश्न 7.
एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि AB||CD तथा AD = BC तो दर्शाइए कि
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D (NCERT)
(iii) ∆ABC ≅ ∆BAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD
हल:
AB को बढ़ाया और C से होकर DA के समान्तर एक रेखा खींची जो बढी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।
∵ AECD एक समान्तर चतुर्भुज है।
प्रश्न 8.
एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर एक चतुर्भुज बनता है। सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत होगा।
हलः
प्रश्न 9.
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु क्रमश: P, Q, R और है तथा जिसमें AC = BD है तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समचतुर्भुज है। (NCERT)
हल:
प्रश्न 10.
ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें भुजा AB की D से ऊँचाई, AB को समद्विभाजित करती है। तो समचतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 11.
एक समान्तर चतुर्भुज के एक अधिक कोण के शीर्ष से, समान्तर चतुर्भुज की दो ऊँचाइयों के बीच का कोण 60° है। एक समान्तर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 12.
एक चतुर्भुज ABCD है जिसमें P, Q,R और क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं AC एक विकर्ण है तो दर्शाइए कि-
(i) SR||AC और SR = AC
(ii) PQ = SR
(iii) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
हल:
प्रश्न 13.
एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में, एक वर्ग बनाया गया है। वर्ग और त्रिभुज का एक कोण उभयनिष्ठ है। दर्शाइए कि उभयनिष्ठ कोण के शीर्ष के विपरीत, वर्ग का शीर्ष कर्ण को समद्विभाजित करता है। (NCERT Exemplar)
हल:
प्रश्न 14.
एक ∆ABC में, D,E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं। यदि भुजाओं AB, BC और CA की लम्बाइयाँ क्रमशः 7 सेमी, 8 सेमी, 9 सेमी हैं तो दर्शाइए कि ∆DEF का परिमाप 12 सेमी है।
हल:
प्रश्न 15.
माना एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार है कि AB = AC यदि D,E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं तो दर्शाइए कि रेखाखण्ड AD और EF एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करती है।
हलः
प्रश्न 16.
ABCD एक पतंग है जिसमें AB = AD और BC = CD तो सिद्ध कीजिए कि भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति एक आयत है।
हल:
प्रश्न 17.
एक ∆ABC में, A, B और C से, भुजाओं BC, CA और AB के समान्तर रेखा R खींचे जाने पर प्राप्त आकृति ∆PQR है। तो दर्शाइए कि BC = QR.
हल:
बिन्दु A से BC के समान्तर RQ, बिन्दु B से AC के समान्तर PQ तथा बिन्दु C से AB Aके समान्तर RP रेखायें खींची गयी है।
∴ ∆PQR बनता है।
अतः बिन्दु A, B, C क्रमश: APQR की भुजाओं RQ, QP तथा PR के मध्य बिन्दु होंगे।
प्रश्न 18.
एक समान्तर चतुर्भुज का परिमाप 22 सेमी है यदि बड़ी भुजा की माप 6.5 सेमी है दर्शाइए कि छोटी भुजा की माप 4.5 सेमी है।
हल:
समान्तर चतुर्भुज का परिमाप = 2(a + b)
जहाँ a व b क्रमशः समान्तर चतुर्भुज की भुजाएं है।
प्रश्न 19.
यदि एक समान्तर चतुर्भुज के कोण, इसके आसन्न कोण का तो समान्तर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 20.
संलग्न चित्र में, एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है जिसमें ∠A और ∠B के समद्विभाजक एक बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं, दर्शाइए कि ∠APB = 90°
हलः
प्रश्न 21.
संलग्न चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, E, AB का मध्य बिन्दु है। और CE, ∠BCD को समद्विभाजित करता है। तो सिद्ध कीजिए कि
(i) AE = AD
(ii) DE, ∠ADC को समद्विभाजित करता है।
(iii) ∠DEC = 90°
हलः
प्रश्न 22.
यदि एक समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्ण, समान्तर चतुर्भुज के कोणों में से एक को समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि यह, इसके विपरीत कोण को भी समद्विभाजित करता है तथा दोनों विकर्ण
हलः
समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, उसे दो समान त्रिभुजों में बाँटता है
∆ADC तथा ∆ABC में,
AB = DC (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ)
AD = BC (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ)
AC उभयनिष्ठ अतः
∆ADC ≅ ∆ABC
∠BCA = ∠DCA
प्रश्न 23.
यदि ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD,O पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए किः
(i) (AB + BC + CD + DA) > (AC + BD)
(ii) (AB + BC + CD + DA) < 2(AC + BD)
हलः
प्रश्न 24.
संलग्न चित्र में, एक बिन्दु 0, एक समचतुर्भुज ABCD के भीतर इस प्रकार लिया गया है कि OB = OD तो दर्शाइए कि A,0 और C समान रेखा में हैं।
हलः
प्रश्न 25.
एक चतुर्भुज के विकर्ण लम्बवत् हैं तो दिखाइये कि चतुर्भुजीव आकृति में, इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति एक आयत है। (NCERT)
हलः
स्वयं हल कीजिए।
प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा घिरा क्षेत्र एक आयत है।
हलः
दिया है: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें कोणों A, B,C,D के समद्विभाजक क्रमशः बिन्दुओं P,Q, R व
S पर प्रतिच्छेद कर एक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं।
सिद्ध करना है: PQRS एक आयत हैं।
उपपत्तिः ∵ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है
इसलिए, AD|| BC
∵ AD||BC तथा तिर्यक रेखा AB उसे क्रमशः बिन्दु A व B पर प्रतिच्छेद करती है।
प्रश्न 27.
एक वर्ग की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति एक वर्ग होता है।
हलः
प्रश्न 28.
यदि एक तिर्यक, दो समान्तर रेखाओं को काटती है तो दर्शाइए कि अन्तः कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं।
हलः
दिया है। दो समान्तर भुजाएँ AB व CD तथा तिर्यक रेखा l जो AB को X तथा CD को Y पर काटती है। आन्तरिक कोणों के समद्विभाजक बिन्दु P व Q पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रश्न 29.
समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD को तीन बराबर भागों में बिन्दु P व Q से बाँटा जाता है, सिद्ध कीजिए कि CQ, AP के समान्तर है।
हलः
स्वयं हल कीजिए।
प्रश्न 30.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AD को E तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DE = DC तथा EC का बढ़ा भाग, AB के बढ़े भाग F में मिलता है तो सिद्ध कीजिए कि BF = BC
हलः
स्वयं हल कीजिए।
प्रश्न 31.
ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AD पर एक बिन्दु P पर इस प्रकार है कि AP = AD तथा BC पर एक बिन्दु Q इस प्रकार है कि CQ = BC तो सिद्ध कीजिए कि AQCP एक समान्तर चतुर्भुज है।
हलः
स्वयं हल कीजिए।
प्रश्न 32.
एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है। E तथा F क्रमश: AB तथा AD के मध्य बिन्दु हैं। कोई रेखा GH है जो AD, EF और BC को क्रमश: G,P और H पर प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध कीजिए कि GP = PH.
हलः
स्वयं हल कीजिए।
प्रश्न 33.
ABC एक त्रिभुज है तथा A, B और C से, BC, CA और AB के समान्तर रेखाएँ खींची गई हैं जो क्रमशः P,Q तथा R पर प्रतिच्छेद करती हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∆PQR का परिमाप, ∆ABC के परिमाप का दोगुना है।
हलः