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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.4 त्रिभुजों की सर्वांगसमता
प्रश्न 1.
चित्र में, AB = AC तथा BC को बढ़ाने पर कोई बिन्दु D है तो सिद्ध कीजिए कि (NCERT Exemplar)
हलः
∵ AB = AC …(1)
∆ACD में ∠ACD अधिक कोण है
तथा ∠ADC न्यूनकोण है।
∴ अधिक कोण की सम्मुख भुजा बड़ी तथा न्यूनकोण की सम्मुख भुजा छोटी होती है।
∴ AD > AC
AD > AB (समीकरण (1) से)
प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC में यदि ∠A = 45° और ∠B = 70° तब त्रिभुज की छोटी और बड़ी भुजा ज्ञात कीजिए।
हलः
∠C = 180 – (∠A + ∠B)
= 180 – (45 + 70)
= 180 – 115 = 65°
सबसे बड़ा कोण = 70°
सबसे छोटा कोण = 45°
∴ सबसे बडा कोण की सम्मुख भुजा AC सबसे बड़ी तथा सबसे छोटे कोण की सम्मुख भुजा BC सबसे छोटी है।
प्रश्न 3.
क्या हम 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी लम्बाई की भुजा वाला त्रिभुज खींच सकते हैं?
हल:
∵ 3+ 4 = 7 > 5, 4 + 5 > 3 तथा 3 + 5 > 4
∵ त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा है।
∴ ∆ की रचना सम्भव है।
प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में, AB = AC तो सिद्ध कीजिए कि AF > AE
हलः ::
AB = AC
∠B = ∠C … (1)
∠AFE = ∠CFD (शीर्षाभिमुख कोण) … (2)
∆ABD में, ∠AEF = ∠B + ∠EDB … (3)
बहिष्कोण समीकरण (2) व (3) से सिद्ध होता है।
∠AEF > ∠AFE
∴ AF > AE
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC में AB > AC, ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक P पर मिलते हैं तो सिद्ध कीजिए कि BP > CP
हल:
प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज का परिमाप, उसकी ऊँचाइयों के योग से बड़ा होता है।
हलः
एक ∆ABC में AM, BN तथा PC ∆ की ऊचाईयाँ है।
∆ABM में, ∠AMB समकोण है
∴ AB > AM … (1)
∆BNC में, ∠BNC समकोण है
BC > BN … (2)
∆APC में, ∠APC समकोण है
AC > PC … (3)
समीकरण (1) + (2) + (3) करने पर
AB + BC + AC > AM + BN + PC
∴ ∆ का परिमाप > ∆ की ऊँचाईयाँ
प्रश्न 7.
दिये गये चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है तथा XY व्यास है। तो सिद्ध कीजिए कि XY > XZ
हल:
∵ XY व्यास है तथा XZ वृत्त की एक जीवा है
∵ वृत्त का व्यास, वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है।
∵ XY > XZ
प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा के सम्मुख कोण 60° से बड़ा होता है।
हल:
∆ABC में, AB = BC = AC
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
परन्तु यदि इनमें से एक भुजा बड़ी है तो दोनों भुजायें छोटी होगी तो सबसे बड़ी भुजा का सम्मुख कोण 60° से बड़ा होता है।
Ex 12.4 Congruence of Triangles विविध प्रश्नावली
Ex 12.4 Congruence of Triangles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)
प्रश्न 1.
∆ABC तथा ∆PQR में, AB = PR तथा ∠A = ∠P तब SAS कथन द्वारा प्रतिबंध ज्ञात कीजिए कि दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होंगे। (NCERT Exemplar)
हल:
∆ABC ≅ ∆PQR होगे यदि AC = PQ
प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में, यह दिया है कि ∆ABD = ∆BAC अभिगृहित ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा त्रिभुज सर्वांगसम हैं।
हलः
सर्वांगसमता की RHS कसौटी द्वारा।
प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, यदि AB = DC, ∆ABD ≅ ∆CDB तब ∠ABD = ∠CDB को सिद्ध करने के लिए प्रयोग किए जाने वाले सर्वांगसमता नियम को ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABD ≅ ∆CDB होंगे सर्वांगसमता SAS कसौटी से।
प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में, यह दिया है कि ∆OAP ≅ ∆OBP अभिगृहित ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा त्रिभुज सर्वांगसम है।
हल:
∆OAP तथा ∆OBP में,
OA = OB (दिया है)
∠AOP = ∠BOP (दिया है)
OP (उभयनिष्ठ)
सर्वांगसमता की SAS कसौटी से ∆OAP ≅ ∆OBP
प्रश्न 5.
∆PQR में, यदि ∠R > ∠Q तब निम्नलिखित में से कौन-सा एक सत्य है? (NCERT Exemplar)
(a) PR > PQ
(b) QR > PR
(c) PQ > PR
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
∆PQR में, ∠R > ∠Q तो PQ > PR
विकल्प (c) सही है।
प्रश्न 6.
यदि एक त्रिभुज की दो भुजाओं की लम्बाईयाँ 5 सेमी तथा 1.5 सेमी हैं। तब त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई निम्न में से कौन-सी नहीं हो सकती है? (NCERT Exemplar)
(a) 3.4 सेमी
(b) 3.6 सेमी
(c) 3.8 सेमी
(d) 4.1 सेमी
हलः
∵ ∆ की रचना करने के लिए दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
∴ विकल्प (a) में 3.4 सेमी लेने पर त्रिभुज की रचना सम्भव नहीं है इसलिए ∆ की तीसरी भुजा 3.4 सेमी नहीं हो सकती।
प्रश्न 7.
∆AOC में तथा ∆XYZ में ∠A = ∠X, AO = XZ, AC = XY, तब सर्वांगसमता नियम ज्ञात कीजिए जिसके द्वारा ∆AOC ≅ ∆XZY
हल:
SAS कसौटी द्वारा।
प्रश्न 8.
संलग्न चित्र में, AD = BC तथा ∠BAD = ∠ABC तब ∠ACB ज्ञात D कीजिए।
हलः
SAS कसौटी से ∆ACB ≅ ∆ADB
∴ ∠ACB = ∠ADB
प्रश्न 9.
यदि दो समकोण त्रिभुज ABC और DEF क्रमश: B और E पर समकोण है जो RHS द्वारा सर्वांगसम है तब निम्न में से कौन-सा एक सत्य है?
(a) AC = DF
(b) AB = DE
(c) (a) और (b) दोनों सत्य हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
विकल्प (c) सत्य है।
प्रश्न 10.
एक समकोण त्रिभुज में, एक न्यूनकोण अन्य का दोगुना है तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) कर्ण = छोटी भुजा का दोगुना
(b) कर्ण = × छोटी भुजा
(c) एक न्यूनकोण 40° है
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
कर्ण = छोटी भुजा का दो गुना। अत: विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 11.
∆ABC में, यदि AD माध्यिका है तब निम्न में से कौन-सा एक सत्य है?
(a) AB + AC > 2AD
(b) AB + AC < 2 AD
(c) AB + AC = 2 AD
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 12.
संलग्न चित्र में, ∠ABD : ∠ACD का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, AB = AC
∴ ∠B = ∠C … (1)
∆BCD में, DB = DC
∠DBC = ∠DCB … (2)
समीकरण (1) – (2) करने पर,
∠B – ∠DBC = ∠C – ∠DCB
∠ABD = ∠DCA
∴ ABD : ACD = 1 : 1
प्रश्न 13.
निम्न में से कौन-सी त्रिभुजों की सर्वांगसमता के लिए एक कसौटी नहीं है? (NCERT Exemplar)
(a) SAS
(b) SSS
(c) ASA
(d) SSA
हल:
विकल्प (d) SSA
प्रश्न 14.
∆ABC में ∠B = 35°, ∠C = 65° तथा AD, ∠BAC का समद्विभाजक BC से D पर मिलता है। तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) BD > AD > CD
(b) AD > BD > CD
(c) AD > CD > BD
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 15.
यदि एक त्रिभुज के दो शीर्षलम्बों की ऊँचाईयाँ, विपरीत भुजाओं के बराबर है तब त्रिभुज का नाम बताइये।
हलः
समद्विबाहु त्रिभुज।
प्रश्न 16.
यदि ∆PQR ≅ ∆EFD तब ∠E ज्ञात कीजिए।
हलः
∠E = ∠P
प्रश्न 17.
यदि ∆PQR ≅ ∆EFD तब ED ज्ञात कीजिए।
हलः
ED = PR
प्रश्न 18.
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, यदि शीर्ष कोण, आधार कोणों के योग से दोगुना है तब त्रिभुज के शीर्ष कोण की माप ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 19.
∆ABC में यदि AB = AC तथा BC को D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि ∠ACD = 100° तब ∠A ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 20.
यदि ∆ABC ≅ ∆ACB तब कौन-सी भुजाओं के लिए ∆ABC समद्विबाहु है।
हलः
AB = BC
Ex 12.4 Congruence of Triangles लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-1)
प्रश्न 21.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसमें AB = AC,BE और CF इसकी दो माध्यिकाएँ हैं तो सिद्ध कीजिए कि BE = CF
हलः
प्रश्न 22.
एक वर्ग ABCD की एक भुजा CD पर, एक समद्विबाहु त्रिभुज CDE है तो दिखाइये कि ∆ADE ≅ ∆BCE
हल:
प्रश्न 23.
एक रेखाखंड AB है तथा रेखा । इसकी लाम्बिक समद्विभाजक है यदि एक बिंदु P, l पर स्थित है तो दिखाइये कि P, A तथा B से समदूरस्थ है। (NCERT)
हल:
प्रश्न 24.
एक चतुर्भुज ABCD में, AC = AD तथा AB, ∠A को समद्विभाजित करता है तो दिखाइये कि ∆ABC ≅ ∆ABD
हल:
प्रश्न 25.
एक समद्विबाहु त्रिभुज का ऊर्ध्वाधर कोण 100° है तो दिखाइये कि इसका आधार कोण 40° है।
हलः
∵ ∆ABC में
AB = BC
∠BAC = ∠ACB = 40°
प्रश्न 26.
संलग्न चित्र में, एक वर्ग ABCD है तथा P, AD का मध्य बिंदु है, BP और CP मिलाये गये हैं। तो सिद्ध कीजिए कि ∠PCB = ∠PBC
हल:
प्रश्न 27.
संलग्न चित्र में, बिंदु P और Q, BC पर इस प्रकार है कि BQ = CP तथा AP = AQ तो दिखाइये कि AB = AC
हलः
प्रश्न 28.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की बराबर भुजाओं के विपरीत कोण भी बराबर होते हैं।
हलः
Ex 12.4 Congruence of Triangles लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)
प्रश्न 29.
एक चतुर्भुज ABCD में, यदि विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है तथा AB = AD तब दिखाइये कि ∠CBA = ∠CDA
हल:
प्रश्न 30.
संलग्न चित्र में, ∆ABC में, ∠B = 30°, ∠C=65° तथा ∠A का समद्विभाजक BC पर X में मिलता है। दिखाइये कि CX < AX < BX
हलः
प्रश्न 31.
संलग्न चित्र में, O, AB तथा CD का मध्य बिंदु है। तो सिद्ध कीजिए कि AC = BD
हल:
प्रश्न 32.
सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की बराबर कोणों की विपरीत भुजाएँ भी बराबर होती हैं।
हल:
रचना- बिन्दु A से आधार BC पर लम्ब AM डाला। समकोण ∆AMB तथा समकोण ∆AMC में
प्रश्न 33.
एक न्यूनकोण त्रिभुज ABC है। B से AC पर लम्ब, C से AB पर लम्ब के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि AB = AC
हलः
प्रश्न 34.
सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज (समबाहु त्रिभुज से अलग) सबसे बड़ी भुजा के विपरीत कोण 60° से बड़ा होता है। (NCERT Exemplar)
हलः
समबाहु ∆ से अलग दो स्थिति होगी
(i) अधिक कोण त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा के विपरीत कोण 60° से बड़ा होता है।
(ii) न्यूनकोण त्रिभुज में सबसे बड़ी भुजा के विपरीत कोण 60° से अधिक ही होगा।
Ex 12.4 Congruence of Triangles दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)
प्रश्न 35.
सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ बराबर होती हैं।
हल:
प्रश्न 36.
संलग्न चित्र में, AB = AC, CH = CB तथा HK || BC यदि ∠CAX = 137°तब ∠CHR ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 37.
दिखाइये कि एक चतुर्भुज ABCD में AB + BC + CD + DA > AC + BD
हल:
प्रश्न 38.
संलग्न चित्र में, एक समबाहु त्रिभुज ABC है। PQ||AC तथा AC को R तक इस प्रकार बढ़ाया है कि CR = BP तो दिखाइये कि QR, PC को समद्विभाजित करता है।
हल:
प्रश्न 39.
सिद्ध कीजिए कि एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से माध्यिका, उर्ध्वाधर कोण को समद्विभाजित करती है।
हल:
प्रश्न 40.
संलग्न चित्र में, यदि x = y तथा AB = CB तब सिद्ध कीजिए कि AE = CD
हल:
Ex 12.4 Congruence of Triangles बहु विकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)
सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार है कि AB = AC तथा AD आधार BC की माध्यिका है तब ∠BAD =
(a) 50°
(b) 55°
(c) 65°
(d) 75°
हलः
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में, AB > AC निम्न में से कौन-सा एक सत्य है?
(a) AB > AD
(b) AB < AD
(c) AB = AD
(d) इनमें से कोई नहीं हलः
∵ AB > AC … (1)
⇒ ∠3 > ∠2 [∵ बड़ी भुजा के सामने का कोण बड़ा होता है]
परन्तु ∠4 > ∠2
क्योंकि ∠4, ∆ABD का बहिष्कोण है तथा यह किसी भी अन्तकोण से बड़ा होता है।
तब ∠5 > ∠2 से
⇒ AB > AD
अतः विकल्प (a) सही है।
प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, BE L CA तथा CF | BA इस प्रकार हैं कि BE = CF तो निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) ∆ABE ≅ ∆AFC
(b) ∆ABE ≅ ∆ACF
(c) (a) व (b) दोनों सत्य हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∆ABE तथा ∆ACF में, BE = CF (दिया है)
∠AEB = ∠AFC (प्रत्येक 90°)
∠BAE = ∠CAF (उभयनिष्ठ)
अतः ∆ABE ≅ ∆ACF
अतः विकल्प (b) सही है।
प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में, AE = DB, CB = EF तथा ∠ABC = ∠FED तब निम्न में से कौन-सा सत्य है?
(a) ∆ABC ≅ ∆DEF
(b) ∆ABC ≅ ∆EFD
(c) (a) व (b) दोनों सत्य हैं
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः :
Ex 12.4 Congruence of Triangles स्विमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)
प्रश्न 1.
रेखा l कोण A की समद्विभाजक है तथा । पर कोई बिंदु B है। BP और BQ बिन्दु B से ∠A की भुजाओं पर लम्ब हैं तो दिखाइये कि-
(i) ∆APB ≅ ∆AQB
(ii) BP = BQ
हल:
प्रश्न 2.
C पर समकोण, एक समकोण ∆ABC में M, कर्ण AB का मध्य बिंदु है। C को M से मिलाया गया है तथा एक बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DM = CM बिंदु D को बिंदु B से मिलाया गया है तो दिखाइये कि
(i) ∆AMC = ∆BMD
(ii) ∠DBC एक समकोण है।
(iii) ∆DBC ≅ ∆ACB
(iv) CM = FAB
हलः
प्रश्न 3.
एक समद्विबाहु ∆ABC में AB = AC, ∠B तथा ∠C के समद्विभाजक परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं A को O से मिलाया तो दिखाइये कि-
(i) OB = OC
(ii) AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।
हल:
प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC है जिसमें ऊँचाईयाँ BE और CF भुजाओं AC और AB के बराबर हैं तो दिखाइये कि-
(i) ∆ABE ≅ ∆ACF
(ii) AB = AC, अर्थात् ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल:
प्रश्न 5.
समान आधार BC पर दो समद्विबाहु त्रिभुज ABC तथा DBC हैं तथा BC की समान भुजा पर शीर्ष A और D हैं यदि AD को बढ़ाने पर, BC को P पर प्रतिच्छेद करती है।
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD
(ii) ∆ABP ≅ ∆ACP
(iii) AP, ∠A व ∠D को समद्विभाजित करते हैं।
(iv) AP, BC का लम्बअर्द्धक है।
हलः
प्रश्न 6.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC, AD ⊥ BC खींच तो दिखाइये कि ∠B = ∠C
हल:
प्रश्न 7.
संलग्न चित्र में, ∠B < ∠A, ∠C <∠D तो दिखाइये कि AD > BC
हल:
प्रश्न 8.
यदि एक उभयनिष्ठ आधार के दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं। तो सिद्ध कीजिए कि इनके शीर्षों को मिलाने वाली रेखा इन दोनों को समकोण पर समद्विभाजित करती है।
हलः
प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, AD, ∆ABC की माध्यिका है यदि AD पर दो लम्ब BL और CM खींचे गये हैं तथा AD को बढ़ाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि BL = CM
हलः
∆BLD तथा ∆DMC में
∠BLP = ∠DMC (प्रत्येक 90°)
∠BDL = ∠MDC (शीर्षाभिमुख कोण)
BD = DC [ ∵ D, BC का मध्य बिन्दु है]
अतः ∆BLD ≅ ∆DMC
BL = CM
प्रश्न 10.
संलग्न चित्र में, एक त्रिभुज ABC है, जो B पर समकोण है। यदि भुजा BC पर एक वर्ग BCDE है तथा AC पर एक वर्ग ACFG है तो दिखाइये कि AD = BF
हलः
प्रश्न 11.
संलग्न चित्र में, OA = OB तथा OP = OQ तो सिद्ध कीजिए किः
(i) PX = Qx
(ii) AX = BX
हल:
प्रश्न 12.
यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार को दोनों ओर को बढ़ाया गया है तो सिद्ध कीजिए की इस प्रकार बने बहिष्कोण परस्पर बराबर हैं।
हल:
प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए किं ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज होगा यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है।
(i) शीर्षलम्ब AD, ∠BAC को समद्विभाजित करता है।
(ii) ∠BAC का समद्विभाजक आधार BC पर लम्ब है।
हल:
प्रश्न 14.
बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाओं l व m से समान दूरी पर स्थित एक बिन्दु P है। सिद्ध कीजिए कि AP उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करते हैं।
हलः
प्रश्न 15.
दो रेखायें AB व CD बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि BC, AD के बराबर तथा समान्तर हैं। सिद्ध कीजिए कि AB व CD रेखाएँ, बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
हलः
दिया है- BC = AD तथा BC || AD
सिद्ध करना है- AB तथा CD रेखाएँ, बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।
उपपत्ति- ∆AOD तथा ∆BOC में,
AD = BC
∠OAD = ∠OBD (एकान्तर कोण)
∠ADO = ∠OCB (एकान्तर कोण)
∆AOD ≅ ∆BOC
अत: ∠AOD = ∠BOC
अत: AB तथा CD रेखाएँ, बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं।