Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2 त्रिभुज एवं उसके गुण

Ex 11.2 Triangles and Its Angles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में, ∠BAC = 30°, ∠ABC = 50° तथा ∠CDE = 40°, तो ∠AED ज्ञात कीजिए।
हलः
बहिष्कोण
∠ACD = ∠ABC + ∠CAB
= 50 + 30 = 80°
बहिष्कोण ∠AED = ∠ACD + ∠ EDC
= 80 + 40 = 120°
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(∵ A का बहिष्कोण, अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।)

प्रश्न 2.
∆ABC में, भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है। यदि ∠ABC = 40° और ∠ACD = 120° तो ∠A ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC का बहिष्कोण ∠ACD है।
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∠ACD = ∠ABC + ∠ BAC
120 = 40 + ∠ BAC
120 – 40 = ∠ BAC
80° = ∠BAC

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, BO तथा CO क्रमशः ∠B और ∠C के समद्विभाजक है यदि ∠A = 50° तब ∠BOC ज्ञात कीजिए।
हलः
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माना ∠ABC = x ∴ ∠OBC =\frac{x}{2}
तथा ∠ACB = y तथा ∠OCB = \frac{y}{2}
∆ABC में, 50 + x + y = 180
x + y = 180 – 50 = 130°
∆OBC में, BOC = 180-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)=180-\left(\frac{130}{2}\right)
= 180 – 65 = 115°

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प्रश्न 4.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC को बायीं ओर को D तक बढ़ाया गया है तथा दाँयी ओर को E तक बढ़या गया है तथा यहाँ ∠ABD = 125° और ∠ACE = 130° तब ∠A ज्ञात कीजिए।
हल:
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∆ABC में,
∠ABC = 180 – 125 = 55°
∠ACB = 180 – 130 = 50°
∆ABC में, ∠ABC + ∠ACB + ∠ BAC = 180°
55 + 50 + ∠BAC = 180°
105 + ∠ BAC = 180°
∠BAC = 180 – 105 = 75°

प्रश्न 5.
∆ABC में, BD⊥AC, ∠CAE = 30° और ∠CBD = 40° तब ∠AEB ज्ञात कीजिए।
हलः
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∠BCD = 180° – (40+ 90)
= 180 – 130
= 50°
तथा ∠AEB = ∠EAC + ∠ACE
∠AEB = 30 + 50
= 80°

Ex 11.2 Triangles and Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 6.
∆ABC में, यदि 3∠A = 4∠B = 6∠C तो ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में,
∠A = \frac{4}{3} \angle B
∠C = \frac{4}{6} \angle B=\frac{2}{3} \angle B
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
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प्रश्न 7.
∆PQR में, यदि ∠P – ∠Q = 42° और ∠Q – ∠R = 21° तब ∠P, ∠Q और ∠R ज्ञात कीजिए।
हलः
∠P = 42° + ∠Q तथा ∠R = ∠Q – 21°
∆PQR में, ∵ ∠P + ∠Q + ∠R = 180°
42°+ ∠Q + ∠Q + ∠Q – 21° = 180°
3∠Q + 21° = 180°
3∠Q = 180° – 21° = 159°
∠Q = \frac{159}{3} = 53°
∠P = 42 + 53 = 95°
∴ ∠R = 53 – 21 = 32°

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प्रश्न 8.
∆ABC में, ∠A + ∠B = 125° और ∠A + ∠C = 113° तब ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में, ∠A + ∠B = 125° ………..(1)
∠A + ∠C = 113° ………… (2)
समीकरण (1) से, ∠A = 125° – ∠B ……………… (3)
समीकरण (2) से, ∠C = 113° – ∠A ………………….. (4)
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180
125 – ∠B + ∠B + 113 – ∠A = 180
238 – ∠A = 180
238 – 180 = ∠A ⇒ ∠A = 58°
समीकरण (3) में ∠A का मान रखने पर
58 = 125 – ∠B
∠B = 125 – 58 = 67°
समीकरण (2) में ∠A का मान रखने पर
58 + ∠C = 113
∠C = 113 – 58 = 55°

प्रश्न 9.
∆ABC में, यदि ∠A + ∠B = 108° और ∠B + ∠C = 130° तो ∠A, ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ ∠A + ∠B = 108°
∴ ∠A = 108° -∠B …………..(1)
तथा
∠B + ∠C = 130°
∠C = 130° – ∠B
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180
108 – ∠B + ∠B + 130 – ∠B = 180
238 – ∠B = 180
238 – 180 = ∠B ⇒ ∠B = 58°
∠C = 130 – 58 = 72°
∠A = 108 – 58 = 50°

प्रश्न 10.
निम्न चित्र में x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
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∠ACD = 120°
∠ACB = 180 – 120 = 60°
बहिष्कोण ∠BAE = ∠ABC + ∠ACB
110 = x + 60
110 – 60 = x
50° = x

Ex 11.2 Triangles and Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 11.
निम्न प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए।
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हलः
चित्र (i) में,
∠ACB = 180 – 110 = 70°
∆ABC में, ∠EBA बहिष्कोण है।
∠EBA = ∠BAC + ∠ACB
120 = x + 70
120 – 70 = x
∴ x = 50°
चित्र (ii) में, AD = DC (दिया है)
∴ ∠DAC = ∠DCA = a (माना)
∆ADC में, x + ∠DAC + ∠DCA = 180
x + a + a = 180
x + 2a = 180 ……………. (1)
∆ABC में, 45 + 35 + 50 + a + a = 180
130 + 2a = 180
2a = 180 – 130 = 50°
a = \frac{50}{2} = 25°
समीकरण (1) में a का मान रखने पर
x + 2 × 25 = 180
x + 50 = 180 ⇒ x = 180 – 50 = 130°

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प्रश्न 12.
चित्र में, एक समबाहु ∆EAB, एक वर्ग ABCD के ऊपर अध्यारोपित है। x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समबाहु ∆EAB में, ∠ABE = 60° तथा ∠ABC = 90° [वर्ग ABCD के कोण]
∠EBC = 60 + 90 = 150°
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∆EBC में, EB = BA = BC
∠CEB + y = 180 – 150 = 30°
प्रत्येक ∠CEB = y = \frac{30}{2} = 15°
∵ ∆EAB एक समबाहु A है।
∴ ∠AEB = 60°
∴ x + ∠CEB = 60°
x + 15 = 60° ⇒ x = 60 – 15 = 45°

प्रश्न 13.
चित्र में, AB, ∠DAC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है और AB = DB, x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ AB, ∠ DAC को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करती है।
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माना ∠ DAB = a
∠BAC = 3a
∴ a + 3a + 108 = 180 ⇒ 4a = 180 – 108 = 72°
a = \frac{72}{4} = 18°
∴ ∠DAB = 18°
∴ ∠ADB = 18°
∠BAC = 3 × 18 = 54°
∴ ∠DAC = 18 + 54 = 72°
∆ADC में, ∠DAC + ∠ADC + x = 180°
72 + 18 + x = 180°
90 + x = 180° ⇒ x = 180 – 90 = 90°

प्रश्न 14.
चित्र में, CD⊥AB, ∠ABE = 130° तथा ∠BAC = 70°, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हलः
∠BDC, ∆ADC का बहिष्कोण है।
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∠BDC = ∠DAC + ∠ACD
90 = 70 + y
90 – 70 = y
∴ y = 20°
∴ ∠ABE, ∆ABC का बहिष्कोण है।
∠ABE = ∠BAC + ∠BCA
130 = 70 + x + y
130 = 70 + x + 20
130 – 70 – 20 = x
40° = x

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प्रश्न 15.
यदि ∠ABD = 125° तथा ∠ACE = 130° तब ∠ BAC ज्ञात कीजिए।
हलः
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∠ABC = 180 – 125 = 55° [रैखिक युग्म कोण]
∠ACE, ∆ABC का बहिष्कोण है।
∴ ∠ACE = ∠ABC + ∠BAC
130 = 55 + ∠BAC
130 – 55 = ∠BAC
75° = ∠BAC

Ex 11.2 Triangles and Its Angles दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 16.
∆ABC में, भुजाओं AB और AC को क्रमश: D तथा E तक बढ़ाया गया है। ∠DBC और ∠ECB के समद्विभाजक एक बिन्दु 0 पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠BOC = 90° – \frac{1}{2}∠A
हल:
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प्रश्न 17.
एक ∆ABC की भुजा BC को दोनों ओर को बढ़ाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि दोनों बाह्य कोणों का योग ∠A से 180° बड़ा होगा।
हलः
सिद्ध करना है: ∠ABD + ∠ACE = ∠A + 180°
∆ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।
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उपपत्तिः
∠ABD = ∠A + ∠ACB
∠ABD = ∠A + 180 – ∠ACE
∠ABD + ∠ACE = ∠A + 180°

प्रश्न 18.
यदि एक त्रिभुज के आधार कोण के समद्विभाजक द्वारा 135° का एक कोण बना है। तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समकोण है।
हलः
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माना ∆ABC में,
∠B = 2x तथा ∠C = 2y
∴ ∠DBC = \frac{2 x}{2} = x
∠DCB = \frac{2 y}{2} = y
∆BDC में,
x + y + 135 = 180
x + y = 180 – 135 = 45°
∆ABC में, ∠ABC + ∠ BCA + ∠BAC = 180
2x + 2y + ∠BAC = 180
2(x + y) + ∠BAC = 180
समीकरण (1) से
2 × 45 + ∠BAC = 180
∠BAC = 180 – 90 = 90°
∴ ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।

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प्रश्न 19.
एक त्रिभुज ABC है। B पर बाह्य कोण का समद्विभाजक तथा ∠C का समद्विभाजक परस्पर D पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠D = \frac{1}{2}∠A
हलः
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प्रश्न 20.
एक ∆ABC में, AD, ∠A का समद्विभाजक है तथा ∠C > ∠B तो सिद्ध कीजिए कि ∠ADB > ∠ADC
हलः
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∵ ∠C > ∠B
AB > AC [बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।]
∆ABD तथा ∆ADC में,
∠ADB > ∠ADC

Ex 11.2 Triangles and Its Angles बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
एक ∆ABC में, ∠B = ∠C तथा किरण AX, बहिष्कोण DAC को समद्विभाजित करती है। यदि ∠DAX = 70° तब ∠ACB =
(a) 60°
(b) 70°
(c) 45°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
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∠B = ∠C
तथा AX, बहिष्कोण DAC को समद्विभाजित करती है, तब
∠DAX = 70°
∠XAC = 70°
∵ AX||BC तथा AC तिर्यक रेखा इन्हें काटती हैं।
तब ∠XAC = ∠ACB = 70°
अतः विकल्प (b) सही है।

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प्रश्न 2.
यदि एक समकोण त्रिभुज के न्यूनकोण के समद्विभाजक O पर मिलते हैं तब दोनों समद्विभाजकों के बीच कोण O है
(a) 90°
(b) 45°
(c) 145°
(d) 135°
हलः
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∠ABC = 90°
माना∠BAC = 2x, ∠BCA = 2y
OA, OC क्रमशः ∠BAC तथा ∠BCA के समद्विभाजक हैं।
तब ∠BAO = ∠OAC = x
∠BCO = ∠OCA = y
∆AOC में, x + y + ∠AOC = 180°
∠AOC = 180° – (x + y) …………… (1)
∆ABC में, 2x + 2y + 90° = 180°
x + y = 45
समी० (1) व समी० (2) से,
∠AOC = 180° – 45° = 135°
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 3.
∆ABC में, यदि ∠A = 100°, AD, ∠A को समद्विभाजित करता है तथा AD⊥BC तब ∠B =
(a) 40°
(b) 50°
(c) 60°
(d) 90°
हलः
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∵ AD, ∠A को समद्विभाजित करता है, अतः ।
∠BAD = ∠CAD = 50°
∆ABD में,
∠ABD + 50 + 90 = 180
∠ABD = 180 – 140 = 40°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 4.
एक समद्विबाहु त्रिभुज में शीर्ष पर एक बहिष्कोण 95° है तथा इसका एक बना हुआ अभिमुख कोण है
(a) 180°
(b) 47 \frac{1}{2}^{\circ}
(c) 90°
(d) 270°
हल:
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2x = 95°
x = \frac{95}{2}=47 \frac{1}{2}^{\circ}
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 5.
एक ∆ABC में, ∠A = 50° तथा BC को एक बिंदु D तक बढ़ाया गया है। यदि ∠ABC और ∠ACD के समद्विभाजक E पर मिलते हैं तब ∠E =
(a) 35°
(b) 45°
(c) 25°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
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माना ∠ABC = 2x तथा ∠ACD = 2y
तब BE, ∠ABC का समद्विभाजक है, अतः
∠ABE = ∠EBC = x
तथा CE, ∠ACD का समद्विभाजक है, अतः
∠ACE = ∠ECD = y
∠ACD, ∆ABC का बहिष्कोण है। अत:
∠ACD = ∠CAB + ∠ABC
2y = 50° + 2x ⇒ y – x = 25° …………..(1)
∆BCE में, ∠EBC + ∠ECB + ∠BEC = 180°
x + (180° – y) + ∠BEC = 180°
∠BEC = 180° – 180° + y – x = (y – x) = 25°
अतः ∠E = 25°
अतः विकल्प (c) सही है।

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प्रश्न 6.
∆ABC के B तथा C पर बहिष्कोणों के समद्विभाजक O पर मिलते हैं यदि ∠A = x° तब ∠BOC =
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हलः
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माना ∠CBD = 2y तथा ∠BCE = 2x
∵ BO तथा CO क्रमश: कोण ∠CBD तथा ∠BCE के समद्विभाजक हैं, तब
∠DBO = ∠OBC = y°
∠BCO = ∠COE = x°
∆ABC के ∠B तथा ∠C बहिष्कोण हैं, तब
∠DBC = x + ∠BCA ⇒ 2y = x + 180° – 2z
⇒ 2y + 2z = x + 180°
y + z = \frac{x}{2} + 90°
∆BOC में, ∠BOC = 180° – (y + z)
= 180^{\circ}-\left(\frac{x}{2}+90^{\circ}\right)=\left(90^{\circ}-\frac{x}{2}\right)
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 7.
यदि एक त्रिभुज के कोण 3 : 4 : 5 के अनुपात में है तब छोटा कोण है
(a) 45°
(b) 30°
(c) 60°
(d) 35°
हलः
कोणों में अनुपात = 3 : 4 : 5 तब कोण = 3x, 4x, 5x
3x + 4x + 5x = 180° ⇒ 12x = 180°
x = \frac{180^{\circ}}{12} = 15
सबसे छोटा कोण = 3x = 3 × 15 = 45°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 8.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण 110° का है, तब अन्य दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच कोण हो सकता है
(a) 135°
(b) 160°
(c) 145°
(d) 90°
हलः
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माना ∠BAC = 2.x, ∠BCA = 2y
∵ OA तथा OC, ∠BAC तथा /BCA के समद्विभाजक हैं, तब
∆ABC में, 2x + 2y + 110° = 180°
2x + 2y = 180° – 110°
2x + 2y = 70
⇒ x + y = 35
∆AOC में, ∠AOC + x + y = 180°
∠AOC = 180° – (x + y) = 180° – 35 = 145°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, OA तथा OB, ∠A और ∠B के समद्विभाजक है यदि ∠C = 30° तब ∠AOB =
(a) 45°
(b) 90°
(c) 180°
(d) 105°
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
माना ∠CAB = 2x, ∠CBA = 2y
∆ABC में, 2x + 2y + 30° = 180°
2x + 2y = 150° = x + y = 75° …………. (1)
∆OAB में, x + y + ∠AOB = 180°
∠AOB = 180° – (x + y)= 180° – 75° = 105°
अतः विकल्प (d) सही है।

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प्रश्न 10.
चित्र में एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC है जिसमें ∠A = ∠B तथा PQ||AB यदि ∠C = 70° तब ∠APQ =
(a) 45°
(b) 900
(c) 125°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
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∠A = ∠B
∆ABC में, ∠A + ∠B + 70° = 180°
∠A + ∠A = 180° – 70°
2∠A = 110° ⇒ ∠A = 55°
∵ PQ|| AB ∴ ∠CPQ = ∠PAB = 55° (संगत कोण)
∠APQ = 180° – 55° = 125° अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 11.2 Triangles and Its Angles  स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो के योग के बराबर है तब सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
हलः
माना ∆ के तीन कोण = ∠A, ∠B, ∠C
∠A = ∠B+ ∠C …………….(1)
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180
∠A + ∠A = 180
2∠A = 180
∠A = \frac{180}{2} = 90°
∴ ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में यदि AB||DE, ∠ BAC = 35° तथा ∠CDE = 53° तब दिखाइये कि ∠DCE = 92°
हलः
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AB||DE
∠BAE = ∠AED = 35° (एकान्तर कोण)
∆CDE में, ∠DCE = 180 – (53 + 35)
= 180 – 88 = 92°

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC दोनों ओर को बढ़ायी गयी है तो दिखाइये कि बने हुए बहिष्कोणों का योग, दो समकोण द्वारा ∠A से बड़ा है।
हलः
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बहिष्कोण ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC ……………(1)
बहिष्कोण ∠ABE = ∠BAC + ∠ACB …………. (2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
∠ACD + ∠ABE = ∠BAC + ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB
= ∠BAC + (∠ABC + ∠BAC + ∠ACB)
= ∠BAC + 180°

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प्रश्न 4.
∆ABC में, BD⊥AC तथा CE⊥AB, यदि BD तथा CE, O पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि ∠BOC = 180° – ∠A
हलः
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∠BOC = 180° – (∠OBC + ∠OCB) ……………. (1)
∆BDC में, ∠DBC + ∠BCD = 90 …………… (2)
∆BEC में, ∠EBC + ∠ECB = 90 ……………… (3)
∆ABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180 ………………. (4)
समीकरण (2) व (3) को जोड़ने पर
∠DBC + ∠ECB = 180 – ∠BCD – ∠EBC
= 180 – (180 -∠A) = ∠A ……………. (5)
समी० (1) में समी० (5) का मान रखने पर
∠BOC = 180° – ∠A

प्रश्न 5.
यदि एक त्रिभुज के दो कोणों का योग, तीसरे कोण के बराबर है तब तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ∆ के तीन कोण = x, y, z
∵ x + y = z ………….(1)
x + y + z = 180
z + z = 180
2z = 180
∴ z = \frac{180}{2} = 90°
तीसरा कोण = 90°

प्रश्न 6.
यदि एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण, अन्य दो कोणों के योग से छोटा है तो दिखाइए कि यह न्यूनकोण त्रिभुज है।
हल:
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∵ ∠A < ∠B + ∠C ………….(1)
∠B < ∠A + ∠C ………… (2)
∠C < ∠A + ∠B …………(3)
समीकरण (1) में दोनों और ∠A जोड़ने पर
2∠A < ∠A + ∠B + ∠C
2∠A < 180
∠A < \frac{180}{2} < 90°
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं ∠B < 90°
∠C < 90° ∴ यह एक न्यूनकोण ∆ होगा।

प्रश्न 7.
एक ∆ABC की भुजा BC को नीचे दिये गये चित्र में दिखाये अनुसार एक बिन्दु D तक बढ़ाया गया है। ∠A का समद्विभाजक BC से L पर मिलता है। तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABC + ∠ACD = 2∠ ALC ∠ACD = ∠CA∠ + ∠A∠C …(1) ∠ACD = ∠CAB + ∠A∠C
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2

प्रश्न 8.
संलग्न चित्र में, चतुर्भुज PQRS के दो आसन्न कोण P और s के समद्विभाजक PA और SA हैं। तो सिद्ध कीजिए कि 2∠PAS = ∠Q +∠R
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
सिद्ध करना है। 2∠PAS = ∠Q + ∠R
∆PAS में, ∠ PAS = 180 – (∠1 + ∠2)
2 से गुणा करने पर,
2∠PAS = 360 – 2(∠1 + ∠2)
= 360 – (2∠1 + 2∠2)
= 360 – (∠P + ∠S)
= ∠Q + ∠R

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र में, DE||QR और AP और BP क्रमश: ∠EAB तथा ∠RBA के समद्विभाजक है। तो दिखाइए कि ∠APB = 90°
हलः
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∵ DE ||QR
तथा AB एक तिर्यक रेखा है। समान्तर रेखाओं के एक ही ओर के अन्तः कोणों के युग्मों का योग 180°  होता है।
∴ ∠EAB + ∠ABR = 180
2∠1 + 2∠2 = 180
2(∠1 + ∠2) = 180
∠1 + ∠2 = 90
अब ∆PAB में, ∠APB + ∠1 + ∠2 = 180
∠APB + 90 = 180
∠APB = 180 – 90 = 90°

UP Board Solutions

प्रश्न 10.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग से बड़ा है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज अधिक कोण वाला है।
हलः
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∠A > ∠B + ∠C
दोनों पक्षों में ∠A जोड़ने पर,
∠A + ∠A > ∠A + ∠B +∠C
⇒ 2∠A > 180°
⇒ ∠A > \frac{180^{\circ}}{2} ⇒ ∠A > 90°
अतः ∠A , एक अधिककोण है।

प्रश्न 11.
यदि एक त्रिभुज का प्रत्येक कोण, अन्य दो कोणों के योग से कम है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज न्यूनकोण वाला है।
हलः
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∵ ∠A < ∠B + ∠C …………(1)
∠B < ∠A + ∠C …………… (2)
∠C < ∠A + ∠B …………….(3)
समी० (1) में दोनों पक्षों में ∠A जोड़ने पर,
∠A + ∠A < ∠A + ∠B + ∠C
2∠A < 180°
∠A < \frac{180^{\circ}}{2} ⇒ ∠A < 90°
अतः ∠A , एक न्यूनकोण है।

प्रश्न 12.
यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ क्रम में बढ़ायी गयी है तो सिद्ध कीजिए कि बने हुए बहिष्कोणों का योग, चार सम कोणों के बराबर है।
हलः
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
वृहत ∠A = ∠B + ∠C ………… (1)
वृहत ∠B = ∠A + ∠C …………… (2)
वृहत ∠C = ∠A + ∠B …………..(3)
समी० (1), (2) व (3) को जोड़ने पर,
वृहत [∠A + ∠B + ∠C ] = ∠B + ∠C + ∠A + ∠C + ∠A + ∠B
= 2[∠A + ∠B + ∠C] = 2 × 180° = 360°
= 4 × 90° = 4 समकोण

UP Board Solutions

प्रश्न 13.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समकोण है।
हलः
∴ ∠A = ∠B + ∠C
दोनों पक्षों में ∠A जोड़ने पर,
∠A + ∠A = ∠A+ ∠B + ∠C
2∠A = 180°
∠A = \frac{180^{\circ}}{2} = 90°
अत: ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है।

प्रश्न 14.
∆ABC में, ∠B = 90° तथा BD⊥AC तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABD = ∠ACB
हल:
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles and Its Angles Ex 11.2
∵ BD⊥AC
∴ ∠BDA = ∠BDC = 90°
∆ABD में,
∠ABD + ∠A + ∠ADB = 180°
∠ABD + ∠A + 90°= 180°
∠ABD = 90°- ∠A ………….(1)
परन्तु
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠B + ∠C = 180° – ∠A
∠C = 180° – ∠A – ∠B
= 180° – ∠A – 90°
= 90° – ∠A ………….(2)
समी० (1) व (2) से,
∠ABD = ∠C = ∠ACB

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