Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 10 Lines and Angle Ex 10.2

Free PDF download of Balaji Publications Mathematics Class 9 Solutions Chapter 10 Lines and Angle Ex 10.2 for all the questions enlisted under the chapter. All questions are solved using step by step approach, solving the questions from the Class 9 Maths for helps in grasping the concepts correctly.

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 10 Lines and Angle Ex 10.2 रेखाएँ एवं कोण

Ex 10.2 Lines and Angle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
दी गयी आकृति में, AB || DE तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABC + ∠BCD = 180°+ ∠CDE
हलः
बिन्दु C से होकर एक रेखा MCN खींची जबकि AB || MN
माना
∠MCD = x
∠MCB = y

∠CDE = ∠ MCD = x
LHS ∵ ∠ABC + ∠BCD = 180 – y + x + y [∵ ∠ABC = ∠BCN = 180°- y एकान्तर कोण]
= 180 + x = 180 + ∠CDE = RHS

प्रश्न 2.
दी गयी आकृति में, AB, CD के समान्तर है, x ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ AB||CD
बिन्दु T से होती हुई AB तथा CD के समान्तर रेखा MN खींची।
∠ TAB + ∠ATN = 180° (अन्तः कोण युग्म)
140 + ∠ATN – 180°
∠ATN = 180 – 140 = 40°
∵ ∠DCT + ∠NTC = 180°
150 + ∠NTC = 180°
∠NTC = 180 – 150 = 30°
∴ x = ∠ATN + ∠NTC = 40 + 30 = 70°

प्रश्न 3.
निम्न प्रत्येक आकृति में x° का मान ज्ञात कीजिए।

हल:
(i) AB तथा CD के समान्तर एक रेखा FEM खींची।
∠ABE + ∠FEB = 180°
140 + ∠FEB = 180°
∠FEB = 180 – 140 = 40°
∠CDE + ∠FED = 180°
135 + ∠FED = 180° (अन्तः युग्म कोण)
∠FED = 180 – 135 = 45°
∴ ∠FEB + ∠FED = 40 + 45 = 85°
∴ x = 85°

(ii) बिन्दु E से होती हुई एक रेखा MN खींची
∠MEA = ∠BAE = 50° (एकान्तर कोण)
∠MEC = ∠ECD = 70° (एकान्तर कोण)
∴ ∠MEA + ∠MEC = 50 + 70 = 120°
∴ x = 120°

(iii) बिन्दु E से होती हुई MN रेखा खींची
माना ∠MEB = a
a = 180°- 60° = 120°
∴ b = 180°- 30° = 150°
∵ x = a + b
= 120° + 150° = 270°

प्रश्न 4.
दी गयी आकृति में, AB|| CD तथा कोई बिन्दु P दर्शाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABP + ∠BPD + ∠CDP = 360°
हल:

∵ AB||CD
तथा P बिन्दु से होती हुई एक सरल रेखा EF खींची
माना ∠BPE = x तथा ∠DPE = y
∠MBP = 180 – ∠ABP ……….. (1)
तथा ∠NDP = 180 – ∠PDC …………..(2)
∠MBP = x (एकान्तर कोण)
∠NDP = y (एकान्तर कोण)
समीकरण (1) से 180 – ∠ABP = x ……… (3)
समीकरण (2) से 180 – ∠PDC = y …………. (4)
समीकरण (3) व (4) को जोडने पर,
180 – ∠ABP + 180 – ∠PDC = x + y
360 – ∠ABP – ∠CDP = ∠BPD
∴ 360° = ∠ABP + ∠BPD + ∠CDP

प्रश्न 5.
दी गयी आकृति में, x ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC का बहिष्कोण = x
∆ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है

∴ ∠CBD = ∠ACB + ∠CAB
∴ ∠CBD = 70 + 60 = 130°
∴ x = 130°

प्रश्न 6.
दी गयी आकृति में, l||m||n और ∠1 = 60°, ∠2 ज्ञात कीजिए।
हल:

∠1 = 60° ∵ l || m || n
∠1 = ∠3 (संगत कोण)
= 60°
∴ ∠4 = 180° – 60° = 120°
∠2 = ∠4 = 120° (एकान्तर कोण)

प्रश्न 7.
आकृति में, भुजाओं BA और DC द्वारा निर्मित एक चतुर्भुज दर्शाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि a + b = x + y यदि AB||DC.
हलः

∵ ∠BCD = 180 – a
∠BAD = 180 – b
चतुर्भुज के चारो कोणों का योग = 360
180 – a + y + 180 – b + x = 360
x + y = a + b

प्रश्न 8.
दी गयी आकृति में, AB||CD और ∠F = 30°, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ ∠AFE = 30°
∠ECH = ∠AFE = 30° (एकान्तर कोण)
∠ECD = 30 + 90 = 120°

प्रश्न 9.
दी गयी आकृति में, यदि AC||DE, तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∠MCD = 180° – ∠EDC
= 180° – 55° = 125
x = ∠MCD (शीर्षाभिमुख कोण)
= 125°

प्रश्न 10.
दी गयी आकृति में, ∠ABC की भुजाओं BA और BC, ∠DEF की क्रमशः भुजाओं ED और EF के समान्तर है तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABC + ∠DEF = 180°
हल:
∵ ∠ABC + ∠EDC = 180° (अन्तः युग्म कोण) …………….(1)
परन्तु ∠EDC = ∠DEF ………….. (2)

समीकरण (2) का मान समीकरण (1) में रखने पर
∠ABC + ∠DEF = 180°

प्रश्न 11.
दी गयी आकृति में AB||CD और DE||CF, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ AB || CD
∴ ∠BAC = ∠ACD
50 = y (एकान्तर कोण) …………(1)
∵ DE ||CF
x = 70 + y (एकान्तर कोण) …………(2)
समीकरण (2) में y का मान रखने पर
x = 70 + 50 = 120°

प्रश्न 12.
दी गयी आकृति में BD||CE, तो x, y और z ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ FDE = 180 – 120 = 60°
∴ y = 60° (संगत कोण)
∠DBC = 180 – 70 = 110°
∆ABD में,
∠DBC = ∠BAD + ∠ADB
110 = x + 60
(∵ ∠ADB = 180 – 120 = 60°)
x = 110 – 60 = 50°
x = 50°
z = ∠BCE = 70° (संगत कोण)

प्रश्न 13.
दी गयी आकृति में समान्तर रेखायें l, m, n एक तिर्यक रेखा P द्वारा क्रमशः x, y और z पर प्रतिच्छेद होती है। तो ∠1, ∠2 तथा ∠3 ज्ञात कीजिए।
हलः

∠4 = 180° – 50° = 130°
∠4 = ∠1 = 130° (संगत कोण)
∠1 = ∠2 = 130° (संगत कोण)
∠3 = ∠1 = 130° (एकान्तर कोण)

प्रश्न 14.
दी गयी आकृति में l₁||l₂ और m₁|| m₂ क्यों हैं, कारण दीजिए?
हलः

∠NQR = QRS = 130°
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।
∴ m₁||m₂
∠PQR = 180° – 130° = 50°
∠MPS = ∠PQR = 50° (संगत कोण)
∴ l₁||l₂

Ex 10.2 Lines and Angle विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
चित्र में x और y के मान ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि AB||CD.
हल:
AB||CD
x = 130° (संगत कोण)
y = 130° (शीर्षाभिमुख कोण)

प्रश्न 2.
चित्र में, यदि AB||CD, CD||EF और y : z = 3 : 7, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∠EPN = ∠CNM

180 – z = y
∴ y + z = 180° …………..(1)
माना ∠y = 3a
∠z = 7a
3a + 7a = 180
10a = 180 ⇒ a = $\frac{180}{10}$ = 18
∴ y = 3 × 18 = 54°
∵ z + y = 180
∴ z + 54 = 180°
∴ z = 180 – 54 = 126°
∴ ∠x = 2x = 126° (संगत कोण)

प्रश्न 3.
चित्र में, यदि AB||CD, EF⊥CD और ∠GED = 126°, ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:

∵ AB||CD
∠AGE = ∠GED = 126° (एकान्तर कोण)
∠GEF = 126° – ∠FED
= 126° – 90° = 36°
∠FGE = 180° – ∠AGE = 180 – 126 = 54°

प्रश्न 4.
चित्र में यदि PQ||ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° तो ∠QRS ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

PQ को आगे M तक बढ़ाया
तथा
∠AMR = 130° (संगत कोण)
∠MQR = 180°- 110 = 70°
∠QMR = 180 – 130 = 50°
∆QRM में तथा ∠QRS = 180°- (∠MQR + ∠QMR)
= 180°- (70 + 50)
= 180 – 120 = 60°

प्रश्न 5.
चित्र में यदि AB||CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° तो और y ज्ञात कीजिए।
हल:
∆PQR में, AB||CD
x = 50° (एकान्तर कोण)
∵ बहिष्कोण ∠PRD = ∠QPR + ∠PQR
∠PRD = y + x
127 = y + 50
127 – 50 = y
77° = y

प्रश्न 6.
चित्र में PQ और RS दो दर्पण है जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गये है। एक आपतन किरण AB दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB||CD है।
हलः

∵ ∠3 = ∠4 ……………. (1)
P तथा ∠1 = ∠2 …………. (2)
परन्तु ∠3 = ∠2 …………… (3) (एकान्तर कोण) ,
समीकरण (1) व (3) से ∠2 = ∠4 …………….. (4)
समीकरण (2) व (3) से ∠1 = ∠3 ………………… (5)
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने पर
∠2 + ∠1 = ∠4 + ∠3
∴ ∠BCD = ∠ABC
परन्तु ये एकान्तर कोण है।
∴ AB||CD

प्रश्न 7.
चित्र में ∆PQR की भुजाएँ QP और RQ को क्रमशः बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

∠QPR = 180 – 135 = 45°
∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ
(∆ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है)
110 = 45 + ∠PRQ
110 – 45 = ∠PRQ
65° = ∠PRQ

प्रश्न 8.
चित्र में ∠X = 62°, ∠XYZ = 547, यदि ∆XYZ में YO और ZO क्रमशः ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।
हल:
∆XYZ में ∠XZY = 180°– (62 + 54)
180 – 116 = 64°
∵ YO तथा ZO क्रमशः ∠XYZ तथा ∠XZY के समद्विभाजक है।

∴ ∠OYZ = $\frac{54}{2}$ = 27
तथा ∠OZY = $\frac{64}{2}$ = 32°
∠YOZ = 180 – (27 + 32)
= 180 – 59 = 121°

प्रश्न 9.
चित्र में यदि AB||DE, ∠BAC = 35°, ∠CDE = 53° तो ∠DCE ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

∵ AB||DE
∠BAC = ∠DEC = 35° (एकान्तर कोण)
∆CDE में,
∠DCE = 180° – (53 + 35)
= 180 – 88 = 92°

प्रश्न 10.
चित्र में यदि रेखाएं PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75°, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:

∆PRT में, PTR = 180 – (95 + 40)
= 180 – 135 = 45°
∠PTR = ∠QTS = 45° (शीर्षाभिमुख कोण)
∠TQS = 180 – (45 + 75)
= 180 – 120 = 60°

प्रश्न 11.
चित्र में यदि PS ⊥ RS, PT||SR और ∠STR = 28° और ∠QRT = 65° तो x और y के मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

बहिष्कोण
∠QRT = ∠STR + ∠TSR
65 = 28 + ∠TSR
65 – 28 = ∠TSR
37 = ∠TSR
x = 37° [एकान्तर कोण]
∆TPS में,
90 + x + y = 180
90 + 37 + y = 180
127 + y = 180
y = 180 – 127 ⇒ y = 53°

प्रश्न 12.
चित्र में ∆PQR की भुजा QR को एक बिन्दु तक बढाया गया। यदि ∠PQR और ∠PRS के समअर्द्धक, बिन्दु T पर मिलते है तब सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = $\frac{1}{2}$ ∠QPR (NCERT)
हल:

∵ ∠QPR = 180 – ∠PQR – ∠PRQ
= 180 – 2∠TQR – (180 – ∠PRS)
= 180 – 2∠TQR – 180+∠PRS
= -2TQR + 2∠TRS
= 2(∠TRS – ∠TQR)
= 2∠QTR
या $\frac{1}{2}$ ∠QPR = ∠QTR

Ex 10.2 Lines and Angle बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

सही विकल्प का चयन कीजिए।
प्रश्न 1.
यहाँ x के किस मान के लिए l || m होगी?
(a) 20
(b) 30
(c) 50
(d) 45
हलः

l||m होगी, यदि संगत कोण बराबर होंगे। तब
2x – 30° = x + 20°
⇒ 2x – x = 30° + 20°
⇒ x = 50°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 2.
x के किस मान के लिए l||m होगी?
(a) 25
(b) 35
(c) 45
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:

l||m होगी, यदि
4x + (3x + 5) – 180°
⇒ 7x + 5 = 180°
⇒ 7x = 180 – 5 = 175°
⇒ x = $\frac{175^{\circ}}{7}$ = 25°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 3.
यदि दो कोण परस्पर पूरक हैं तब प्रत्येक कोण है
(a) न्यूनकोण
(b) समकोण
(c) अधिक कोण
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
न्यूनकोण।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 4.
एक कोण की माप उसके पूरक की 5 गुनी है तब कोण की माप है।
(a) 25°
(b) 50°
(c) 75°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना कोण = x°, पूरक कोण = (90 – x)°
तब x = 5(90°- x)
⇒ x = 450° – 5x
⇒ x + 5x = 450° ⇒ 6x = 450
⇒ x = $\frac{450}{6}$ = 75°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 5.
एक कोण जिसकी माप 180° से अधिक किन्तु 360° से कम हो, कहलाता है
(a) परावर्तित कोण
(b) न्यून कोण
(c) अधिक कोण
(d) ऋजु कोण
हलः
परावर्तित कोण
अत: विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 6.
दो पूरक कोण इस प्रकार हैं कि एक की माप का दोगुना, अन्य की माप के तीन गुने के बराबर है। दो मापों का बड़ा है।
(a) 54°
(b) 64°
(c) 63°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना बड़ा कोण = x°, पूरक कोण = (90 –x)°
2x = 3 × (90 – x)
2x = 270° – 3x ⇒ 5x = 270°
⇒ x = $\frac{270}{5}$ = 54°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 7.
दो सरल रेखाएँ AB और CD, एक-दूसरे को 0 पर काटती हैं। यदि ∠BOD = 63° तब ∠BOC =
(a) 63°
(b) 17°
(c) 153°
(d) 117°
हलः

∠BOD + ∠ BOC = 180°
⇒ 63° + ∠ BOC = 180°
⇒ ∠BOC = 180° – 63°
⇒ ∠BOC = 117°
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 8.
यदि AB = x + 3, BC = 2x और AC = 4x – 5, तब x के किस मान के लिए B, AC पर स्थित है?
(a) 5
(b) 6
(c) 8
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
बिन्दु B, AC पर स्थित होगा, यदि
AC = AB + BC
⇒ 4x – 5 = x + 3 + 2x
⇒ 4x – 5 = 3x + 3 ⇒ x = 8
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 9.
कोण की माप जो स्वयं का पूरक है
(a) 45°
(b) 55°
(c) 90°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
45°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 10.
एक त्रिभुज का एक बाह्य कोण 110° और दो अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं। ये बराबर कोण है
(a) 45°
(b) 55°
(c) 90°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना अन्त:कोण = x°
तब बाह्य कोण = अन्त:कोणों का योग
110° = x° + x°
⇒ 2x = 110° ⇒ x = $\frac{110^{\circ}}{2}$ = 55°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 11.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तब त्रिभुज है (NCERT Exemplar)
(a) समकोण
(b) समद्विबाहु
(c) समबाहु
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
समकोण।
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 12.
यदि दो सम्पूरक कोणों के बीच का अन्तर 40° है तब कोण है.
(a) 70°, 120°
(b) 70°, 110°
(c) 210°, 150°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना कोण = x°; सम्पूरक कोण = (180° – x)
x – (180° – x) = 40°
⇒ 2x = 220° ⇒ x = $\frac{220}{2}$ = 110°
सम्पूरक कोण = 180° – 110° = 70°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 13.
यदि दो पूरक कोणों के बीच का अनुपात 2 : 3 है तब कोण है
(a) 36°, 54°
(b) 30°, 60°
(c) 20°, 70°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना एक कोण = x°, पूरक कोण = (90° – x)

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 14.
संलग्न चित्र में, यदि l||m, तब x =
(a) 30°
(b) 40°
(c) 70°
(d) इनमें से कोई नहीं

हलः

यदि l||m, तब
∠EDO = ∠COB = 70°
⇒ ∠BOA = 180° – 70° = 110°
∆ABO में, x°+ 110°+ 30° = 180°
x = 180° – 140°
⇒ x = 40°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 15.
संलग्न चित्र में, यदि AB||CD, तब x =
(a) 110°
(b) 115°
(c) 100
(d) इनमें से कोई नहीं

हलः
∠FAE = 180 – 132 = 48°
∵ PF ||CE
⇒ ∠FAE = ∠AEC = 48°
तथा AB||CD
⇒ ∠AEC = ∠ECD = 48°

∵ PA||CE
⇒ ∠APG = ∠ECP = 180 – 148 =32°
अतः बिन्दु C पर
x + ∠ECD + ∠ECP = 180°
x + 48 + 32 = 180°
⇒ x = 180° – 80 = 100°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 16.
यदि AB और CD दो समान्तर रेखाएँ हैं, PQ, AB और CD को क्रमशः E तथा F पर काटती है। EL, ∠FEB का समद्विभाजक है यदि ∠LEB = 35%, तब ∠CFQ =
(a) 90°
(b) 65°
(c) 110°
(d) 140°
हलः

दिया है,
∠LEB = 35°
∵ EL, ∠FEB का समद्विभाजक है, तब
∠FEL = 70°
⇒ ∠AEF = 180° – 70° = 110°
⇒ ∠CFQ = ∠AEF = 110° (एकान्तर कोण)
∴ ∠CFQ = 110°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 17.
तिर्यक रेखा के एक ही ओर यदि दो अन्तः कोणों का अनुपात 2 : 3 है तो बड़ा कोण = (NCERT)
(a) 56°
(b) 125°
(c) 108°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
दो अन्त:कोणों का अनुपात = 2 : 3
अतः कोण = 2x तथा 3x
तब 2x + 3x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = $\frac{180}{5}$ = 36°
अतः बड़ा कोण = 3 × 36° = 108°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 18.
एक कोण इसके सम्पूरक के तीन गुने के बराबर है। कोण की माप है
(a) 125°
(b) 130°
(c) 135°
(d) 120°
हलः
माना कोण = x°; सम्पूरक कोण = (180° – x)
तब x = 3(180° – x)
⇒ x = 540 – 3x
⇒ 4x = 540 ⇒ x = $\frac{540}{4}$ = 135°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 19.
दिया गया है कि ∠POR = 3x और ∠QOR = 2x + 10°, यदि POQ एक सरल रेखा है तब x =
(a) 25°
(b) 30°
(c) 34°
(d) 44°
हल:
∵ POQ एक सरल रेखा है।
∴ ∠POR + ∠QOR = 180°
⇒ 3x + 2x + 10 = 180°
⇒ 5x + 10 = 180°
⇒ 5x = 180° – 10 = 170
⇒ x = $\frac{170}{5}$ = 34°
अतः विकल्प (c) सही है।

प्रश्न 20.
दो पूरक कोण इस प्रकार हैं कि एक की माप का दोगुना, अन्य की माप के तीन गुने के बराबर है। छोटे कोण की माप है।
(a) 36°
(b) 40°
(c) 56°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना एक कोण = x°, पूरक कोण = (90° – x)
⇒ 3x = 2(90 – x)
⇒ 3x = 180 – 2x
⇒ 5x = 180° ⇒ x = $\frac{180}{5}$ = 36°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 21.
संलग्न चित्र में, यदि l||m तब x =
(a) 95°
(b) 45°
(c) 55°
(d) 65°
हल:

∵ l||m
तब ∠BAO = ∠OCD = 40
∆OAB में, ∠OAB + ∠ABO + ∠BOA = 180°
40° + 55° + ∠BOA = 180°
∠BOA = 180° – 95 = 85°
अब बिन्दु O पर,
x + ∠AOB = 180°
⇒ x + 85 = 180°
⇒ x = 180° – 85 = 95°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 22.
संलग्न चित्र में, l||m और m||n यदि x : y = 3 : 2 तब x =
(a) 108°
(b) 72°
(c) 1200
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः

दिया है, x : y = 3 : 2
⇒ x = 3k, y = 2k
x + y = 3k +2k
5k = 180° ⇒ k = $\frac{180^{\circ}}{5}$ = 36°
⇒ x = 3 × 36 = 108°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 23.
एक त्रिभुज का एक बाह्य कोण 105° है तथा इसके अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं तब प्रत्येक बराबर कोण की माप है (NCERT Exemplar)

हलः
माना अन्तः कोण = x°
तब त्रिभुज का बाह्य कोण = अन्तः कोणों का योग
105° = x + x
⇒ 2x = 105 ⇒ x = $\frac{105}{2}=52 \frac{1}{2}^{\circ}$
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 24.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण 130, है तब अन्य दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच कोण है (NCERT Exemplar)
(a) 145°
(b) 155°
(c) 65°
(d) इनमें से कोई नहीं
हल:
∆DAB में, ∠AOB = 130°
तथा PA तथा PB क्रमशः ∠OAB तथा ∠OBA के समद्विभाजक हैं।
माना ∠OAB = 2x, ∠OBA = 2y

तब ∠OAP = ∠PAB = x
तथा ∠OBP = ∠PBA = y
∆APB में, x + y + ∠APB = 180°
∠APB = 180° – (x + y) …………………. (1)
∆AOB में, 2x + 2y + 130° = 180°
2x + 2y = 50
x + y = 25 …………………….(2)
समी० (2) से x + y का मान समी० (1) में रखने पर,
∠APB = 180 – 25 = 155°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 25.
दिए गए चित्र में ज्ञात कीजिए कि a + b =
(a) 127°
(b) 107°
(c) 45°
(d) 54°
हलः

अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 26.
संलग्न चित्र में, AOB एक सरल रेखा है। ∠COD की माप =
(a) 80°
(b) 60°
(c) 120°
(d) 160°
हलः
बिन्दु O पर,

x + 20 + 2x – 20 + 60 = 180°
⇒ 3x + 60° = 180°
⇒ 3x = 120°
⇒ x = 40°
∠COD = 2 × 40 – 20 = 60°
अतः विकल्प (b) सही है।

प्रश्न 27.
यदि एक कोण की माप, उसके सम्पूरक कोण की माप की दोगुनी है। तब इसकी माप है
(a) 90°
(b) 110°
(c) 135°
(d) 120°
हलः
माना कोण = x, सम्पूरक कोण = 180° – x
x = 2(180° – x)
⇒ x = 360° – 2x
⇒ 3x = 360° ⇒ x = $\frac{360^{\circ}}{3}$ = 120°
अतः विकल्प (d) सही है।

प्रश्न 28.
एक कोण की माप जो स्वयं का सम्पूरक है
(a) 90°
(b) 110°
(c) 45°
(d) 135°
हलः
90°
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 29.
(90°-x) का पूरक है
(a) x
(b) 90°+ x
(c) –x
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
(90° – x) का पूरक कोण = 90° – (90°– x)
= 90° – 90° + x = x
अतः विकल्प (a) सही है।

प्रश्न 30.
एक कोण की माप जो स्वयं का पूरक है
(a) 30°
(b) 90°
(c) 45°
(d) इनमें से कोई नहीं
हलः
माना कोण = x, पूरक कोण = 90° –x
x = 90° – x
⇒ x + x = 90°
⇒ 2x = 90° ⇒ x = $\frac{90}{2}$ = 45°
अतः विकल्प (c) सही है।

Ex 10.2 Lines and Angle स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

प्रश्न 1.
यह दिया गया है कि ∠XYZ = 64° और XY को एक बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी गयी जानकारी से एक आकृति खींचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समअर्द्धक करती है तो ∠XYQ और परावर्तित ∠QYP ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ YQ किरण, ∠ZYP को समअर्द्धक करती है
माना ∠ZYQ = ∠QYP = x
64 + x + x = 180
64 + 2x = 180
2x = 180 – 64 = 116
x = $\frac{116}{2}$ = 58

∴ ∠XYQ = 64 + x = 64 + 58 = 122°
∠QYP = 58°
परावर्तित कोण ∠QYP = 360 – 58 = 302°

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि यदि दो रेखायें परस्पर प्रतिच्छेद करती है तब शीर्षाभिमुख कोण बराबर हैं।
हलः
रेखा AB व CD एक दूसरे को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है।
∠AOC + ∠AOD = 180° ………………….. (1)
∠AOD + ∠BOD = 180° ……………… (2)

समीकरण (1) व (2) की तुलना से
∠AOC + ∠AOD = ∠AOD + ∠BOD
∴ ∠AOC = ∠BOD
इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि ∠AOD = ∠BOC
∴ शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

प्रश्न 3.
सलंग्न चित्र में, OD, ∠AOC का और OE, ∠BOC का समद्विभाजक है तथा OD⊥OE तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु A, O और B सरेख हैं।
हलः

∵ OD⊥OE ∴ ∠DOE = 90° ………………. (1)
माना ∠AOC = 2x तथा ∠BOC = 2y
∴ ∠AOD = ∠COD = x
तथा ∠BOE = ∠COE = y
∵ ∠AOD + ∠DOC + ∠COE + ∠BOE
= x + x + y + y = 2x + 2y
= 2(x + y)
= 2 × 90° = 180°
∵ समीकरण (1) से ∠DOE = ∠DOC + ∠COE = x + y = 90°
∴ AOB एक सरल रेखा है तथा A,O,B संरेख है।

प्रश्न 4.
यदि एक तिर्यक द्वारा दो समान्तर रेखायें प्रतिच्छेद होती हैं तब सिद्ध कीजिए कि किन्ही दो के संगत कोणों के समद्विभाजक समान्तर हैं।
हल:

माना AB||CD तथा MN एक तिर्यक रेखा काटती है।
∠MPB = ∠MQD (संगत कोण)
2 से भाग करने पर
$\frac{\angle M P B}{2}=\frac{\angle M Q D}{2}$
∴ ∠MPT = ∠MQV
परन्तु ये संगत कोण है
PT||QN

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में ∆PQR की भुजा QR को एक बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = $\frac{1}{2}$ ∠QPR
हलः

∵ ∠QPR = 180 – ∠PQR – ∠PRQ
= 180 – 2∠TQR – (180 – ∠PRS)
= 180 – 2∠TQR – 180+∠PRS
= -2TQR + 2∠TRS
= 2(∠TRS – ∠TQR)
= 2∠QTR
या $\frac{1}{2}$ ∠QPR = ∠QTR

प्रश्न 6.
यदि एक तिर्यक रेखा द्वारा दो समान्तर रेखाएँ प्रतिच्छेद होती हैं तो सिद्ध कीजिए कि अन्तः कोणों के दो युग्मों के समद्विभाजक, एक आयत के रूप के हैं।
हलः

∠APQ, ∠BPQ तथा ∠PQC तथा ∠PQD के समद्विभाजक खीचें।
माना ∠BPQ = ∠QPB = x
∵ 2x + 2y = 180
x + y = 90 ………….. (1)
∵ x + y = 90
∴ चारों कोण 90° के होंगे।
∆PTQ तथा PSQ में सिद्ध कर सकते हैं कि PT = QS तथा TQ = PS
अत: PTQS एक आयत है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक युग्म के समद्विभाजकों के शीर्षाभिमुख कोण, एक समान सरल रेखा पर है।
हलः

∠1 = ∠3 ………….. (1)
∠2 = ∠4 ………….. (2)
एक रेखा EF खींची।
∠2 = ∠x + ∠y, ∠2 + ∠1 + ∠4 + ∠3 = 360°,
∠4 = ∠m + ∠n रखने पर
∠x + ∠y + ∠1 + ∠m + ∠n + ∠3 = 360° (∠x +∠1 + ∠m) + (∠y + ∠3 + ∠n) = 360°
∴ प्रत्येक ∠x + ∠1 + ∠m = ∠y + ∠3 + ∠n
∴ शीर्षाभिमुख कोण ∠2 व ∠4 एक समान रेखा पर स्थित हैं = 180°

प्रश्न 8.
यदि दो सरल रेखायें परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं। तो सिद्ध कीजिए कि एक कोण के समद्विभाजक के विपरीत किरण, शीर्षाभिमुख कोण को प्रतिच्छेद करती है।
हलः
माना ∠AOT = m तथा ∠TOD = n
m + z + y = 180 ……………… (1)
n + x + y = 180 …………….. (2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना से
m + z + y = n + z + y

∴ m = n
∴ रेखा TM, शीर्षाभिमुख कोण को प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रश्न 9.
यदि दो सरल रेखायें एक रेखा पर लम्ब है तो सिद्ध कीजिए कि वे परस्पर समान्तर हों?
हलः
यदि PQ व MN रेखा AB पर लम्ब हैं।
∵ ∠AQP = ∠ANM = 90°
परन्तु ये संगत कोण हैं।
∴ PQ||MN

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि यदि एक कोण की दो भुजा, दूसरे कोण की भुजा के लम्बवत् है तो कोण या तो बराबर होंगे या सम्पूरक।
हलः
कोण बराबर होंगे यदि उनका योग 180° होगा अर्थात् सम्पूरक होंगे।

प्रश्न 11.
संलग्न चित्र में, यदि PQ⊥PS, PQ ||RS, ∠SQR = 28° तथा ∠QRT = 65° तो x, y और z के मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ PQ⊥PS तथा ∠SPQ = 90°
∆SQR में,
z = 180 – 65 = 115°
∵ PQ||RS, ∠PQR = ∠QRT
x + 28 = 65
x = 65 – 28 = 37°
समकोण ∆PSQ में, y = 180 – (90 + 37)
= 180 – 127 = 53°

प्रश्न 12.
दिये गये चित्र में, यदि ∠COE = 2x° और / BOD = x°, तो x ज्ञात कीजिए। (जहाँ OD, ∠AOB का समद्विभाजक है और OE, ∠AOC का समद्विभाजक है)
हलः

∵ OD, ∠AOB का समद्विभाजक है
∴ ∠AOD =∠BOD = x
तथा OE, ∠AOC का समद्विभाजक है
∠COE =∠AOE = 2x
∴ ∠BOD + ∠AOD + ∠AOE +∠COE = 180
x + x + 2x + 2x = 180
6x = 180
x = $\frac{180}{6}$ = 30°

प्रश्न 13.
यदि दो सरल रेखाएँ परस्पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है, कि एक के कोण की माप 90° है, तो सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक के शेष कोण की माप 90° है।
हलः
l तथा m रेखाएँ एक-दूसरे को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं, कि
∠AOB = 90°
तब शेष ∠AOB = ∠AOC = 180°- 90° = 90°
इसी प्रकार ∠BOD =∠ COD = 90°

प्रश्न 14.
यदि एक कोण की भुजा क्रमशः अन्य दूसरे कोण की भुजा के समान्तर है, तो सिद्ध कीजिए कि दो कोण या तो बराबर हैं, या सम्पूरक।
हलः
कोण बराबर होंगे यदि उनका कोण 180° होगा अर्थात् सम्पूरक होंगे।

प्रश्न 15.
यदि दो सरल रेखाएँ समान रेखा के लम्बवत् हैं तो सिद्ध कीजिए कि वे परस्पर समान्तर हैं।
हलः
यदि PQ व MN रेखा AB पर लम्ब है।

∴ ∠AQP = ∠ANM = 90°
परन्तु ये संगत कोण हैं।
PQ||MN

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 10 Lines and Angle Ex 10.2 रेखाएँ एवं कोण

Share this: