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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 10 Lines and Angle Ex 10.1 रेखाएँ एवं कोण
Ex 10.1 Lines and Angle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)
प्रश्न 1.
यदि दो पूरक कोणों के बीच का अनुपात 2 : 3 है। तब कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो पूरक (कोटिपूरक) कोण = 2x, 3x
∵ दो पूरक कोणों का योग 90° होता है।
∴ 2x + 3x = 90°
5x = 90
x = 
= 18
∴ दो पूरक कोण = 2 × 18 =36° तथा 3 × 18 = 54°
प्रश्न 2.
यदि दो सम्पूरक कोणों के बीच का अन्तर 40° है। तब कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना दो सम्पूरक कोण = x,
180 – x दो सम्पूरक कोणों का अन्तर = 40
x – (180 – x) = 40
x – 180 + x = 40
2x = 220
x = = 110
सम्पूरक कोण = 110°, 70°
प्रश्न 3.
एक त्रिभुज का बाह्य कोण 110° है और इसके दो अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं। तब ये कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना ∠ABC = ∠BAC = x
∵ A का बहिष्कोण, अपने सम्मुख अन्तः कोणो के योग के बराबर होता है
∴ ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
110 = x + x
110 = 2x
= x
∴ x = 55°
प्रश्न 4.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तब त्रिभुज का नाम बताइये?
हलः
माना
∆ के कोण = x, y, z
∵ x + y = z (दिया है) ………………… (i)
∵ ∆ के तीनों कोणो का योग = 180°
x + y + z = 180°
समीकरण (1) से,
z + z = 180°
2z = 180°
z = = 90
∴ यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2 : 3 : 4 है। तब त्रिभुज का नाम बताइए।
हलः
माना ∆ के तीन कोण = 2x, 3x, 4x
∆ के तीनो कोणो का योगफल = 180°
2x + 3x +4x = 180°
9x = 180°
x = = 20
∴ ∆ के कोण = 40°, 60°, 80°
∴ यह एक न्यूनकोण ∆ है।
प्रश्न 6.
यदि एक त्रिभुज का एक कोण 110° है तब अन्य दो कोणों के समअर्द्धको के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ABC में माना
∠A = x
∠C = y
∠B = 110°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ x + 110 + y = 180
⇒ x + y = 180 – 110 = 70
∵ = 35
माना ∠A व ∠C के समअर्द्धको के बीच का कोण = z
तब = 180°
समीकरण (1) से,
35 + z = 180°
z = 180 – 35 = 145°
Ex 10.1 Lines and Angle लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)
प्रश्न 7.
निम्नलिखित को परिभाषित कीजिए
(i) कोण
(ii) एक कोण का अभ्यन्तर
(iii) न्यूनकोण
(iv) अधिक कोण
(v) सम्पूरक कोण
(vi) पूरक कोण
हलः
(i) कोण- दो रेखाओं के परस्पर झुकाव से बनने वाली आकृति को कोण कहते है। जैसे AB व AC दो किरणें हैं। AB तथा AC के झुकाव से ∠BAC बनता है।
(ii) एक कोण का अभ्यन्तर (Interior of an Angle)- समतल का वह भाग जो किरण AB व AC के बीच स्थित है। ∠BAC का अभ्यन्तर कहलाता है।
(iii) न्यूनकोण- 90° से छोटे या कम कोण को न्यूनकोण कहते हैं।
(iv) अधिक कोण- 90° से बड़े कोण को अधिक कोण कहते हैं।
(v) सम्पूरक कोण- जिन दो कोणों का योग 180° होता है, सम्पूरक कोण कहलाते हैं जैसे 40° का सम्पूरक कोण 140° है।
(vi) पूरक कोण- जिन दो कोणों का योग 90° होता है, पूरक कोण कहलाते हैं जैसे 40° का पूरक कोण 50° होता है।
प्रश्न 8.
कौन-सा कोण स्वयं का कोटिपूरक होता है?
हलः
माना कोण = x
पूरक कोण = x
∴ x + x = 90
2x = 90 ⇒ x = = 45
∴ कोण = 45° स्वयं का कोटिपूरक होता है।
प्रश्न 9.
कौन-सा कोण स्वयं का सम्पूरक होता है?
हलः
माना कोण = x
सम्पूरक कोण = x
∴ x + x = 180°
2x = 180 ⇒ x = = 90°
∴ कोण = 90° स्वयं का सम्पूरक कोण होता है।
प्रश्न 10.
निम्नलिखित प्रत्येक के सम्पूरक कोण का मापन ज्ञात कीजिए।
(i) 54°
(ii) 1300
(iii) 1720
हलः
(i) 54° का सम्पूरक कोण = 180 – 54 = 126°
(ii) 130° का सम्पूरक कोण = 180 – 130 = 50°
(iii) 172° का सम्पूरक कोण = 180 – 172 = 8°
प्रश्न 11.
निम्नलिखित प्रत्येक कोण का पूरक कोण लिखिए।
(i) 77°
(ii) 65°10’20”
(iii) 485942″
हलः
(i) 77° का पूरक कोण = 90 – 77 = 13°
(ii) 65°10′ 20″ का पूरक कोण = 90 – (65°10′ 20″) = 24°49’40”
(iii) 48°59’42” का पूरक कोण = 90 – (48°59’42”) =41°0’18”
प्रश्न 12.
यदि एक कोण, उसके पूरक में, 10° का अन्तर है। कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना कोण = x
पूरक कोण = 90 – x
x – (90 – x) = 10
x – 90 + x = 10
2x = 100
x = 50°
∴ कोण = 50°
प्रश्न 13.
यदि कोण (2x – 10)° और (x – 5)° पूरक कोण है तब x ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ कोण (2x – 10) तथा (x – 5) पूरक कोण है।
∴ 2x – 10 + x – 5 = 90
3x = 90 + 15
3x = 105
x = = 35°
प्रश्न 14.
यदि एक कोण का सम्पूरक, उसके पूरक के तीन गुने के बराबर है। तो कोण का मापन ज्ञात कीजिए।
हलः
माना कोण = x
पूरक कोण = 90 – x
सम्पूरक कोण = 180 – x
प्रश्नानुसार, 180 – x = 3(90 – x)
180 – x = 270 – 3x
2x = 90
x = = 45
कोण = 45°
प्रश्न 15.
दो सम्पूरक कोण 3 : 7 के अनुपात में हैं, कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
माना
पहला कोण = 3x
दूसरा कोण = 7x
प्रश्नानुसार, 3x + 7x = 180°
10x = 180°
x = = 18
∴ पहला कोण = 3 × 18 = 54°
दूसरा कोण = 7 × 18 = 126°
Ex 10.1 Lines and Angle लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)
प्रश्न 16.
दी गयी आकृति में, OA और OB विपरीत किरणें हैं। x का मान ज्ञात कीजिए तथा ∠AOC तथा ∠BOD भी ज्ञात कीजिए।
हलः
∠AOB = 180°
∠AOC + ∠COD + ∠BOD = 180°
x + 20 + x + x + 10 = 180
3x + 30 = 180
3x = 180 – 30
3x = 150
x = = 50°
∴ ∠AOC = 50 + 20 = 70°
∠BOD = 50 + 10 = 60°
प्रश्न 17.
चित्र में, AB और AC विपरीत किरणें हैं। यदि (a – 3b) = 20° तो कोण a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ हम जानते हैं कि किरण CAB में a + b = 180° है।
समीकरण (1) में b का मान रखने पर a – 3 × 40 = 20
a = 20+ 120
a = 140°
प्रश्न 18.
दी गई आकृति में, दो सरल रेखाएं AB और CD एक बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠BOD = x° और ∠AOD = (4x – 5)° तो x का मान ज्ञात कीजिए तथा निम्न को ज्ञात कीजिए।
(i) ∠BOD
(ii) ∠AOD
(iii) ∠AOC
(iv) ∠BOG
हलः
∠ BOD + ∠AOD = 180
x + 4x – 5 = 180°
5x = 180+ 5
5x = 185
x = = 37°
(i) ∠BOD = 37°
(ii) ∠AOD = 4x – 5 = 4 × 37 – 5 = 148 – 5 = 143°
(iii) ∠AOC = ∠BOD = 37° (शीर्षाभिमुख कोण)
(iv) ∠BOC = ∠AOD = 143° (शीर्षाभिमुख कोण)
प्रश्न 19.
दी गयी आकृति में, AOC एक रेखा है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
AOC एक सरल रेखा है।
70 + 2x = 180°
2x = 180 – 70 = 110
x = = 55°
प्रश्न 20.
दी गयी आकृति में, BAC एक रेखा है। x का मान ज्ञात कीजिए तथा ∠CAE व ∠BAD ज्ञात कीजिए।
हलः
∴ बिन्दु A पर बने तीनों कोणों का योग = 180°
∴ 3x – 5 + 55 + x + 20 = 180°
4x + 70 = 180
4x = 180 – 70 = 110
x = = 27°30′
∴ ∠CAE = (3x 27°30′ – 5)
= 82°30′ – 5°= 77°30′
∴ ∠BAD = 27°30′ + 20 = 4730′
प्रश्न 21.
दी गयी आकृति में, POS एक रेखा है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ POS एक सरल रेखा है।
∠POQ + ∠QOR + ∠ROS = 180°
60 + 4x + 40 = 180
4x = 180 – 100 = 80
x = = 20°
प्रश्न 22.
निम्न दी गयी आकृति में, तीन समरेखीय रेखायें एक बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। रुपीय कोण दर्शाये ( चित्र में) गये हैं। a, b, c और d के मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ ∠b = 70° (शीर्षाभिमुख कोण)
∠c = 80° (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ PQ एक सरल रेखा है।
∠a + ∠b + ∠c = 180°
∠a + 70 + 80 = 180°
∠a = 180° – 150° = 30°
∠d = ∠a = 30° (शीर्षाभिमुख कोण)
प्रश्न 23.
सभी में आसन्न कोणों के कितने युग्म है? दी गयी आकृति में इन्हें क्या नाम दे सकते हैं?
हलः
10 युग्म है, जो निम्न प्रकार है।
∠AOB तथा ∠BOC
∠AOB तथा ∠BOD
∠AOB तथा ∠BOE
∠AOC तथा ∠COD
∠AOC तथा ∠COE
∠AOD तथा ∠DOE
∠BOC तथा ∠COD
∠BOC तथा ∠COE
∠BOD तथा ∠DOE
∠COD तथा ∠DOE
प्रश्न 24.
चित्र में, यदि ∠AOC + ∠BOD = 284° तो सभी चार कोण ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि ∠AOC + ∠BOD = 284°
माना ∠AOD = ∠BOC = x
∠AOC + ∠BOD + ∠AOD + ∠BOC = 360
284 + ∠AOD + ∠BOC = 360
∠AOD + ∠BOC = 360 – 284 = 76
∴ x + x = 76
2x = 76 ⇒ x = = 38°
∴ ∠AOC = 180° – 38 = 142°
∠BOD = 142° (शीर्षाभिमुख कोण)
प्रश्न 25.
चित्र में, ∠ACB एक रेखा इस प्रकार है कि ∠DCA = 5x और ∠DCB = 4x, x का मान ज्ञात कीजिए तथा ∠DCB और ∠DCA ज्ञात कीजिए।
हल:
∠ACB एक सरल कोण है।
∴ ∠ACD + ∠ BCD = 180
⇒ 5x + 4x = 180
⇒ 9x = 180
⇒ x = = 20
∴ ∠ BCD = 4x = 4 × 20 = 80°
तथा ∠ACD = 5x = 5 × 20 = 100°