Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 8 Circles Ex 8.2

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 8 Circles Ex 8.2 वृत्त

Ex 8.2 Circles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
दिये गये चित्र में 0 केन्द्र वाले एक वृत्त के  बिन्दु A पर PAQ एक स्पर्शी है तथा ∠BAQ = 60° तब ∠ABC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ACB = ∠BAQ = 60° (एकान्तर वृत्त खण्ड के कोण बराबर होते हैं।)
∠BAC = 90° (UPBoardSolutions.com) (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°
∴ ∠ABC = 180° – (∠ACB + ∠BAC)
= 180° – (60° + 90° )
= 180° -150°
= 30°

प्रश्न 2.
दिये गये चित्र में, O केन्द्र वाले वृत्त के किसी बिन्दु P पर TPT’ एक स्पर्शी है। यदि ∠ APT = 65° तथा ∠ POA = x° हो तो x का मान क्या होगा?
हलः
वृत्त की परिधि पर एक बिन्दु M लिया। A को (UPBoardSolutions.com) M से तथा P को M से मिलाया।

∴ ∠ AMP = ∠APT = 65° (एकान्तर वृत्त खण्ड के कोण)
∠POA = x
2 × ∠AMP
= 2 × 65°
= 130°

प्रश्न 3.
दिये गये चित्र में ∠AOB = 108° तथा AT वृत्त के बिन्दु A पर स्पर्शी है तथा AB एक जीवा है। तब ∠ BAT का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ ∠AOB = 2 × ∠APB
एक ही वृत्तखण्ड द्वारा वृत्त के केन्द्र पर बना कोण उसी वृत्तखण्ड द्वारा परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।

∠APB =
=
= 54°
∠BAT = ∠ APB = 54° (UPBoardSolutions.com) [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण]

प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त के बिन्दु P से स्पर्श रेखा PQ पर एक बिन्दु Q इस प्रकार है कि PQ = 4 सेमी तथा ∠PQO = 45°। तब वृत्त की त्रिज्या की माप ज्ञात कीजिए।
हलः
O से बिन्दु P को मिलाया।
∵ वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

∠OPQ = 90°
∠PQO + ∠OPQ + ∠ POQ = 180°
∴ ∠POQ = 180° – (90° + 45°)
= 180° -135°
= 45°
∵ ∠PQO = ∠POQ = 45°
∴ PQ = PO = 4 सेमी

प्रश्न 5.
दिये गये चित्र में, PQ बिन्दु K पर स्पर्शी है। यदि ∠N वृत्त का व्यास है तथा ∠ KLN = 30° तब ∠ PKL का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

∆KLN में, ∠LKN = 90° (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
∠ LNK = 180° – (∠ LKN + ∠ KLN)
= 180° – (90°+ 30°)
= 180° – 120°
= 60°
∠PKL = ∠ LNK = 60° [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं।]

प्रश्न 6.
दिये गये चित्र में AOB, O केन्द्र वाले वृत्त का व्यास है। तथा ∠ ADC = 125° तब ∠ BAC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∵ ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।

∠ABC + ∠ADC = 180°
∠ABC +125° = 180°
∠ABC = 180°-125°
∠ABC = 550
तथा ∠ACB = 90° (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।)
∴ ∆ ABC में,
∠ABC + ∠ACB + ∠ BAC = 180°
∠ BAC = 180° – (55° + 90° )
= 180° – 145°
= 35°

प्रश्न 7.
दिये गये चित्र में, 0 वृत्त का केन्द्र है तथा वृत्त के बिन्दु P पर T’PT एक स्पर्शी है। इसके अन्दर एक ∆ ABP खींचा गया है। यदि ∠ BPT = 60° तब ∠ BAP का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∠BAP = ∠ BPT = 60° [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]

प्रश्न 8.
दिये गये चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। वृत्त के एक बिन्दु B पर PBQ एक स्पर्शी है। यदि ∠DBP = 65° तब ∠ BCD का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
∠BAD = ∠DBP = 65° [एकान्तर (UPBoardSolutions.com) वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं ]

∵ ABCD चक्रीय चतुर्भुज में,
∠BCD + ∠BAD = 180°
∠BCD + 65° = 180°
∠BCD = 180°- 65°
= 115°

प्रश्न 9.
दिये गये चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। बिन्दु A व C पर खींची गई स्पर्शी एक-दूसरे से बिन्दु P पर मिलती हैं। यदि । ∠ABC = 100° तब ∠ APC का मान ज्ञात कीजिए।

हलः
O को A तथा C से मिलाया।
∠OCP = ∠OAP = 90° [त्रिज्या का स्पर्श रेखा के साथ बना कोण ]
∵ ∠ABC + ∠ADC = 180°
∠ADC = 180° – 100°
= 80°
लघु ∠AOC = 2 × ∠ADC
= 2 × 80°
= 160° [ केन्द्र पर बना कोण वृत्त की परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।]
∴ चतुर्भुज APCO में,
∠OCP + ∠ APC + ∠OAP + लघु ∠AOC = 360°
90°+ ∠ APC + 90° + 160° = 360°
∠APC + 340° = 360°
∠APC = 360° – 340°
= 20°

प्रश्न 10.
वृत्त के बाहर एक बिन्दु P से वृत्त पर दो स्पर्शियाँ PA व PC खींची गयी हैं। इनके बीच का कोण θ है। बिन्दु C से PA के समान्तर एक जीवा CB खींची जाती है। तब ∠ BAC का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ PA||CB तथा PM तिर्यक रेखा काटती है।
∴ ∠ MCB = ∠CPA = θ (UPBoardSolutions.com) (संगत कोण)
∠BAC = ∠ MCB = θ (एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण)

प्रश्न 11.
दिये गये चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त के बाहर एक बिन्दु T से वृत्त पर दो स्पर्शी TP व TQ खींची गयी हैं। यहाँ स्पर्श जीवा वृत्त के शेष भाग से ∠ PAQ = 70° बनाती है। तब दोनों स्पर्शियों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ PAQ = ∠PQT = 70° [ एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]
∵ TP = TQ
∴ ∠PQT = ∠QPT = 70°
∆ PQT में, ∠ PTQ = 180° – (70° + 70°)
= 180°- 140°
= 40°

Ex 8.2 Circles लघु उत्तरीय प्रश्न-1(Short Answer Type Questions-I)

प्रश्न 12.
दिये गये चित्र में, एक रेखा PAT वृत्त को बिन्दु A पर स्पर्श करती है। यदि ∠PAC = 40° तथा ∠BAT = 55° तब ∠CAB का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∠CAB = 180° – (∠CAP + ∠BAT)
= 180° – (40° + 55°)
= 180°- 95°
= 85°

प्रश्न 13.
दिये गये चित्र में रेखा PAT वृत्त को बिन्दु A पर स्पर्श करती है। बिन्दु A से एक जीवा AB इस प्रकार खींची जाती है जो रेखा PAT से 46° का कोण बनाती है। ∠ ACB, रेखाखण्ड ACB में कोण है। ∠ACB की माप ज्ञात कीजिए।
हलः

वृत्त की परिधि पर एक बिन्दु M लिया। M को A तथा B से मिलाया।
∠AMB = ∠ BAT = 46° (UPBoardSolutions.com) [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]
∵ AMBC एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠AMB + ∠ ACB = 180°
46°+ ∠ACB = 180°
∠ACB = 180° – 46° = 134°

प्रश्न 14.
दिये गये चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त के बिन्दु P पर एक स्पर्शी T’PT खींची जाती है। जो कि केन्द्र पर ∠ POQ बनाती है। यदि ∠QPT = α तब ∠ POQ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ ∠OPT = 90° [त्रिज्या का स्पर्श रेखा के साथ कोण ]
∠OPQ = 90° – α
∠OQP = ∠OPQ = 90° – α
∠OQP = ∠OPQ = 90° – α [∆OPQ में, OP = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)]
∆OPQ में, OP = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
∆OPQ में, ∠POQ = 180° – (∠OPQ + ∠OQP)
= 180° – (90° – α + 90° – a)
= 180° – (180° – 2α)
= 180° – 180° + 2α
= 2α

प्रश्न 15.
दिये गये चित्र में, PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है। वृत्त के एक बिन्दु Q पर एक स्पर्शी AQT खींची जाती है। यदि ∠ SQA = 65° तब ∠QRS की माप ज्ञात कीजिए।
हलः

∠ SPQ = ∠ SQA = 65° (एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण)
∵ PQRS एक चक्रीय (UPBoardSolutions.com) चतुर्भुज है।
∠ SPQ + ∠ SRQ = 180°
65°+ ∠SRQ = 180°
∠SRQ = 180° – 65°
∠SRQ = 115°

प्रश्न 16.
दिये गये चित्र में, वृत्त के बिन्दु A पर PAT एक स्पर्शी है। BC वृत्त का व्यास P है तथा ∠ ABC = 30° तब ∠ PAB व ∠ TAC के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∆ ABC में,

∠ BAC = 90° [अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।]
∠ ACB = 180° – (30° + 90°)
= 180° – 120° = 60°
∴ ∠ PAB = ∠ ACB = 60° (एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण)
∠ TAC = ∠ABC = 30° (एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण)

Ex 8.2 Circles लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 17.
दिये गये चित्र में ∆ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है तथा AB = AC सिद्ध कीजिए कि ∆ ABC के परिवृत्त के बिन्दु A पर खींची गई स्पर्शी BC के समान्तर होगी।
हलः
ज्ञात हैः

∆ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC तथा उसका परिवृत्त खींचा गया है। उसके बिन्दु A पर परिवृत्त की स्पर्श रेखा PAQ खींची गयी है।
सिद्ध करना है: PQ || BC
उपपत्तिः समद्विबाहु ∆ ABC में,
AB = AC
∠ ABC = ∠ ACB …(1)
∠ PAB = ∠ ACB …(2) (UPBoardSolutions.com) [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण]
समीकरण (1) व (2) से,
∠ PAB = ∠ABC …(3)
इसी प्रकार ∠QAC = ∠ ACB
परन्तु समीकरण (3) व (4) संगत कोण हैं तथा बराबर हैं। परन्तु यह तभी सम्भव है
जब PQ||BC इति सिद्धम्

प्रश्न 18.
दिये गये चित्र में, AB वृत्त का व्यास तथा AC वृत्त की जीवा है तथा ∠ BAC = 30° है। बिन्दु C पर स्पर्शी AB को बढ़ाने पर मिले बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि BC = BD
हलः
ज्ञात है: AB वृत्त का व्यास तथा AC वृत्त की जीवा है। ∠ BAC = 30° तथा C पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है।

सिद्ध करना है: BC = BD
उपपत्तिः ∆BCD में, ∠CBD = 30° + 90° = 120° [∆ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।]
∠BCD = ∠CAB = 30° [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]
अब ∆ BCD में,
∠BDC = 180° – (∠ BCD + ∠CBD)
= 180° – (30° + 120°)
= 180° – 150° = 30°
∴ ∆BCD संमद्विबाहु त्रिभुज होगा जिसमें BC = BD होगी। इति सिद्धम्

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त की जीवा के शीर्षों पर खींची गई स्पर्शी, जीवा से समान कोण बनाती है।
हलः
दिया हैः O केन्द्र वाला वृत्त तथा जीवा MN जिसके बिन्दु M व N पर दो स्पर्श रेखायें खींची गई हैं।

सिद्ध करना है: ∠ PMN = ∠ MNR
तथा ∠QMN = ∠ SNM
रचनाः वृत्त की परिधि पर दो बिन्दु T व S लिये तथा M,N को T तथा M,N को S से भी मिलाया।
उपपत्तिः ∠ PMN = ∠ MSN …(1)
तथा ∠RNM = ∠MSN …(2) [ एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण ]
समीकरण (1) व (2) की तुलना करने पर
∠PMN = ∠RNM
इसी प्रकार (UPBoardSolutions.com) ∠QMN = ∠MTN …(3) [एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण]
∠ SNM = ∠ MTN …(4)
समीकरण (3) व (4) की तुलना करने पर
∠QMN = ∠ SNM
इस प्रकार प्रत्येक जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखायें जीवा पर समान कोण बनायेंगी। इति सिद्धम्

प्रश्न 20.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है और TPQ इसकी स्पर्श रेखा है। यदि ∠RPQ = 60° है तो ∠POR का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

∵ ∠OPQ = 90° [त्रिज्या का स्पर्श रेखा के साथ कोण ]
∠OPR = 90° – 60°
⇒ ∠OPR = 30°
∠ORP = ∠OPQ = 30° [∆OPQ में, OP = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)]
∆OPQ में, ∠ POR = 180° – (∠OPR + ∠ORP)
= 180 – (30° + 30°)
= 180°- 600
= 120°

प्रश्न 21.
वृत्त के केन्द्र से 5 सेमी दूरी पर स्थित एक बिन्दु A से स्पर्शी की लम्बाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ वृत्त की स्पर्शी, वृत्त (UPBoardSolutions.com) के स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या के लम्बवत् है।

∴ ∠OTA = 90°
∴ ∆OTA में, OA² = OT² + AT²
(5)² = OT² + (4)²
25 – 16 = OT²
OT² = 9
OT = 3 सेमी
अतः वृत्त की त्रिज्या = 3 सेमी

प्रश्न 22.
संलग्न चित्र में, 3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के परिगत एक ∆ ABC इस प्रकार है कि रेखाखण्ड BD व DC की लम्बाई क्रमशः 6 व 9 सेमी हैं। यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 54 सेमी² है, तो AB व AC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः

स्वयं हल कीजिए।

प्रश्न 23.
O केन्द्र वाले वृत्त पर एक बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्शी PA व PB खींची गयी हैं। यदि ∠ PAB = 50° तब ∠AOB का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

दिया है, बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्शी PA तथा PB हैं
तथा ∠ PAB = 50°, ∠AOB = ?
∵ PA ⊥ OA ⇒ ∠OAP = 90°
तथा PB ⊥ OB ⇒ ∠OBP = 90°
∵ बाह्य बिन्दु से वृत्त के केन्द्र पर (UPBoardSolutions.com) बने कोण बिन्दु पर बने कोण का दोगुना होता है।
अतः ∠AOB = 2 × ∠APB
= 2 × 50 = 100°