Free PDF download of UP Board Solutions for Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.3, are provided here, contain detailed explanations of all the problems mentioned in the UP Board Solutions. Students should solve questions from these UP Board solution of class 10, which will help them to prepare well for their exams.
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.3 समान्तर श्रेणी
Ex 5.3 Arithmetic Progressions अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)
प्रश्न 1.
0 व 500 के बीच 7 के गुणांकों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
0 व 500 के बीच 7 के गुणांक
7, 14, 21,……, 497
a = 7, d = 14 – 7 = 7 तथा (UPBoardSolutions.com) l = 497
तब l = a + (n – 1)d
या 497 = 7 + (n – 1) × 7
497 = 7 + 7n – 7
प्रश्न 2.
5 से विभाजित होने वाली सभी दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
5 से विभाजित दो अंकों की सभी (UPBoardSolutions.com) संख्यायें :
10, 15, 20,……..95
a = 10, d = 15 – 10 = 5 तथा l = 95
तब l = a + (n – 1)d या 95 = 10 + (n – 1) × 5
95 = 10 + 5n – 5 या 95 = 5n + 5
95 – 5 = 5n या 5n = 90 या n = = 18
तथा Sn = [2a + (n – 1)d] = [2 × 10 + (18 – 1) × 5]
S18 = 9[20 + 17 × 5]
= 9[20 + 85]
= 9 × 105 = 945
प्रश्न 3.
यदि Sr, किसी समान्तर श्रेणी के r पदों का योग है तो S3n:(S2n – Sn) का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है Sr = [2a + (r – 1)d]
प्रश्न 4.
संख्या 5 व 7 का समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हलः
संख्या 5 व 7 का स०मा० = = 6
Ex 5.3 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)
प्रश्न 5.
यदि दो संख्याओं का अन्तर 4 तथा उनका (UPBoardSolutions.com) समान्तर माध्य 6 हो तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हलः
माना वे दोनों संख्याये a व b हैं।
तब प्रश्नानुसार, a – b = 4 …(1)
तथा समान्तर माध्य = 6
= 6
a + b = 12 …(2)
a का मान समीकरण (2) में रखने पर
8 + b = 12
या b = 12 – 8 = 4
अतः दोनों संख्यायें 8,4 हैं।
प्रश्न 6.
यदि संख्याएं a,b व c समान्तर श्रेणी में हैं तथा a व b का समान्तर माध्य (UPBoardSolutions.com) p तथा b व c का समान्तर माध्य q हो तो सिद्ध कीजिए कि p वq का समान्तर माध्य b होगा।
हल:
∵ संख्याये a, b व c समान्तर श्रेणी में है।
∴ 2b = a + c
प्रश्नानुसार, a व b का समान्तर माध्य = p
= P
या a + b = 2p …(1)
तथा b व c का समान्तर माध्य = q
= q
या c + b = 2q …(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
a + 2b + c = 2p + 2q
a + c + 2b = 2(p + q)
∵ a + c = 2b
तो 2b + 2b = 2(p + q)
= p + q
2b = p + q
= b
अतः इससे स्पष्ट है कि p व १ का समान्तर (UPBoardSolutions.com) माध्य b है।
प्रश्न 7.
यदि a व b का समान्तर माध्य A है तो सिद्ध कीजिए कि
हलः
∵ a व b का समान्तर माध्य A है।
प्रश्न 8.
(i) माना 3 व 17 के बीच n समान्तर माध्य है तथा पहले व (UPBoardSolutions.com) अन्तिम समान्तर माध्य का अनुपात 3 : 1 है तो n का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) 7 व 37 के बीच 9 समान्तर माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना 3 व 17 के बीच n समान्तर माध्य है।
तब समान्तर श्रेणी में
3, A1, A2, A3……An, 17
पदों की संख्या = n + 2 ,a = 3, l = 17
तब l = a + (n – 1)d
17 = 3 + (n + 2 – 1)d
17 = 3 + (n + 1)d
17 – 3 = (n + 1)d
(ii) माना, 7, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, 37
तब a = 7, l = 37 तथा पदों की संख्या = 11
l = a + (n – 1)d से
37 = 7 + (11 – 1)d
37 – 7 = 10d
या 10d = 30, (UPBoardSolutions.com) d = = 3
A1 = a + d = 7 + 3 = 10,
A2 = a + 2d = 7 + 6 = 13
A3 = a + 3d = 7 + 9 = 16,
इसी प्रकार A4 = 19, A5 = 22, A6 = 25
A7 = 28, A8 = 31, A9 = 34
अतः 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34
Ex 5.3 Arithmetic Progressions दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)
प्रश्न 9.
यदि x, y, z समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि
(x + 2y – z)(2y + z – x) (z + x – y) = 4xyz
हल:
∵ x, y व z समान्तर श्रेणी में है।
∴ 2y = x + z
सिद्ध करना हैं (x + 2y – z)(2y + z – x)(z + x – y) = 4xyz
L. H. S. = (x + 2y – z)(2y + z – x)(z + x – y)
∵ 2y = x + z
∴ (x + x + z – z)(x + z + z – x) (2y – y)
= (2x)(2z)(y)
= 4xyz = R.H.S
प्रश्न 10.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि
(i) b + c, c + a, a + b भी समान्तर (UPBoardSolutions.com) श्रेणी में होंगे।
(ii) b + c – a, c + a – b, a + b – c भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
(iii) भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
(iv) a2(b + c), b2(c + a), c2(a + b) भी समान्तर श्रेणी में होंगे यदि ab + bc + ca = 0
हलः
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं।
तब 2b = a + c
(i) b + c, c + a, a + b भी समान्तर श्रेणी में हैं।
2(c + a) = b + c + a + b
2c + 2a – c – a = 2b
2b = a + c
अतः इससे स्पष्ट हैं कि b + c, c + a, a + b (UPBoardSolutions.com) भी समान्तर श्रेणी हैं।
(ii) b + c – a, c + a – b, a + b – c समान्तर श्रेणी में हैं।
2(c + a – b) = b + c – a + a + b – c
2c + 2a – 2b = 2b
2c + 2a = 2b + 2b
या 4b = 2(c + a)
= (c + a)
या 2b = c + a
अत: b + c – a, c + a – b, a + b – c समान्तर श्रेणी में हैं।
(iv) ∵ a2(b + c), b2(c + a), c2(a + b) समान्तर श्रेणी में हैं।
प्रत्येक पद में abc जोड़ने पर
a2(b + c) + abc, b2(c + a) + abc, c2(a + b) + abc (UPBoardSolutions.com) भी समान्तर श्रेणी में हैं।
a(ab + ac + bc), b(bc + ab + ac), c(ca + bc + ab) समान्तर श्रेणी में हैं।
2 × b(ab + bc + ac) = (a + c)(ab + bc + ca)
(2b – a – c)(ab + bc + ab) = 0
ab + bc + ac = 0
प्रश्न 11.
यदि b2 + c2, c2 + a2, a2 + b2 समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
हल: ∵ b2 + c2, c2 + ad, a2 + b2 समान्तर श्रेणी में हैं।
2(c2 + a2) = b2 + c2 + a2 + b2
2c2 + 2a2 – c2 – a2 = 2b2
c2 + a2 = 2b2
या 2b2 = c2 + a2
2ab + 2ac + 2b2 + 2bc = ac + c2 + 2bc (UPBoardSolutions.com) + a2 + ac + 2ab
2b2 = c2 + a2 + 2ab + 2bc + 2ac – 2ab – 2ac – 2bc
2b2 = c2 + a2 …(2)
समीकरण (1) व (2) से स्पष्ट है कि समान्तर श्रेणी में हैं।
प्रश्न 12.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए कि भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
हलः
∵ a, b, c समान्तर श्रेणी में हैं।
∴ प्रत्येक पद में abc में भाग देने पर,
भी समान्तर श्रेणी में हैं।
भी समान्तर श्रेणी में हैं।
प्रश्न 13.
यदि a2, b2, c2 समान्तर श्रेणी में हैं तो सिद्ध कीजिए (UPBoardSolutions.com) कि भी समान्तर श्रेणी में होंगे।
हलः
∵ a2, b2, c2 समान्तर श्रेणी में हैं।
∴ प्रत्येक पद में (ab + bc + ca) जोड़ने पर
(a2 + ab + bc + ca), (b2 + ab + bc + ca), (c2 + ab + bc + ca)
(a + b)(c + a), (a + b)(b + c), (c + a)(b + c) समान्तर श्रेणी में हैं।
प्रत्येक पद में (a + b)(b + c)(c + a) से भाग देने पर
समान्तर श्रेणी में हैं।