Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.1

Free PDF download of UP Board Solutions for Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.1, are provided here, contain detailed explanations of all the problems mentioned in the UP Board Solutions. Students should solve questions from these UP Board solution of class 10, which will help them to prepare well for their exams.

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.1 समान्तर श्रेणी

Ex 5.1 Arithmetic Progressions अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद (UPBoardSolutions.com) $\frac{4}{5}$ , x तथा 2 हैं तब x का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद $\frac{4}{5}$ , x, 2 हैं

प्रश्न 2.
x के किस मान के लिए 2x + 1, 13, 5x – 3, एक समान्तर श्रेणी के तीन क्रमागत पद हैं?
हलः
दी गयी समान्तर श्रेणी 2x + 1, 13, 5x – 3
∵ श्रेणी समान्तर है अतः
13 – (2x + 1) = 5x – 3 – 13 (UPBoardSolutions.com)
⇒ 13 – 2x – 1 = 5x – 16
⇒ 12 – 2x = 5x – 16
⇒ 28 = 7x
⇒ x = 4

प्रश्न 3.
समान्तर श्रेणी $\frac{1}{2 a}, \frac{1 - 2 a}{2 a}, \frac{1 - 4 a}{2 a}$ ,… का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 4.
श्रेणी 10, 7, 4,… का 30 वा पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गयी श्रेणी 10, 7, 4, ……
यहाँ प्रथम पद a = 10 तथा सार्वान्तर d = 7 – 10 = – 3
हम जानते हैं कि a_n = a + (n – 1)d
a₃₀ = 10 + (30 – 1) × – 3
a₃₀ = 10 + 29 × – 3
a₃₀ = 10 – 87
a₃₀ = – 77

प्रश्न 5.
समान्तर श्रेणी 14, 9, 4, – 1, – 6,… का 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 14, 9, 4, – 1, – 6….
यहाँ a = 14,d = – 5
अतः a₁₂ = a + (12 – 1)d
= a + 11d
= 14 + 11 × – 5
= 14 – 55
= – 41

प्रश्न 6.
श्रेणी 5, 11, 17, 23… का n (UPBoardSolutions.com) वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गयी श्रेणी 5, 11, 17, 23…
यहाँ a = 5, d = 6
अतः n वाँ पद a_n = a + (n – 1)d
⇒ a_n = 5 + (n – 1)6
⇒ a_n = 5 + 6n – 6
⇒ a_n = 6n – 1

प्रश्न 7.
श्रेणी 6, $7 \frac{3}{9}, 9 \frac{1}{2}, 11 \frac{1}{4}$ ,… का 37 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः

अतः a₃₇ = a + (37 – 1)d
= 6 + 36d
= 6 + 36 × $\frac{4}{3}$
= 6 + 12 × 4
= 6 + 48
= 54

प्रश्न 8.
समान्तर श्रेणी 72, 63, 54,…. का कौन – सा पद शून्य है ?
हलः
माना समान्तर श्रेणी 72, 63, 54,….. का n वाँ पद शून्य है।
अतः a_n = a + (n – 1)d सूत्र से
दिया है a_n = 0, a = 72, d = – 9
0 = 72 + (n – 1) × – 9
⇒ 0 = 72 – 9n + 9
⇒ 9n = 81
⇒ n = 9
अतः श्रेणी का 9 वाँ पद (UPBoardSolutions.com) शून्य है।

प्रश्न 9.
समान्तर श्रेणी 100, 90, 80…. का कौन – सा पद शून्य है?
हलः
माना समान्तर श्रेणी 100, 90, 80…. का n वाँ पद शून्य है।
तब, a = 100, d = 90 – 100 = – 10
अतः a_n = a + (n – 1)d
0 = 100 + (n – 1) × – 10
⇒ 0 = 100 – 10n + 10
⇒ 10n = 110
⇒ n = $\frac{110}{10}$
⇒ n = 11
अतः श्रेणी का 11 वाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
समान्तर श्रेणी 24, 21, 18…. का कौन – सा पद पहला ऋणात्मक पद है?
हलः
माना श्रेणी 24, 21, 18…. का n (UPBoardSolutions.com) वाँ पद ऋणात्मक है
यहाँ a = 24, d = – 3
∴ a_n = a + (n – 1)d <0
a_n = 24 + (n – 1)(- 3) < 0
⇒ 24 – 3n + 3 < 0
⇒ 27 < 3n ⇒ n > $\frac{27}{3}$ = 9
n > 9
अतः श्रेणी का 10वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

Ex 5.1 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)

प्रश्न 11.
समान्तर श्रेणी 5, 9, 13, 17, … का कौन – सा पद 81 है?
हलः
माना इस समान्तर श्रेणी का n वाँ पद 81 है।
अतः दी गई श्रेणी 5, 9, 13, 17, …
यहाँ a = 5, d = 4, a_n = 81
अतः सूत्र से,
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 81 = 5 + (n – 1)4
⇒ 81 = 5 + 4n – 4
⇒ 81 = 4n + 1
⇒ 81 – 1 = 4n
⇒ 80 = 4n
⇒ n = 20 वाँ पद

प्रश्न 12.
समान्तर श्रेणी – 11, – 8, – 5,….49 का (UPBoardSolutions.com) अन्त से चौथा पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दी गयी समान्तर श्रेणी – 11, – 8 – 5, ….49
अत : a= – 11
d= – 8 – (- 11) = 3
अतः अन्तिम पद l = 49
हम जानते हैं कि
अन्त से चौथा पद = l – (4 – 1)d
= 49 – 3 × 3
= 49 – 9 = 40

प्रश्न 13.
समान्तर श्रेणी 3, 8, 13,….253 का अन्त से 12 वाँ पद ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
दी गयी श्रेणी 3, 8, 13,….253
यहाँ प्रथम पद, a = 3, सार्वान्तर d = 8 – 3 = 5 तथा अन्तिम पद l = 253
अतः अन्त से 12वाँ पद = l – (12 – 1)d
= 253 – 11 × 5
= 253 – 55 = 198

प्रश्न 14.
समान्तर श्रेणी 213, 205, 197, …,37 का मध्य पद ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी 213, 205, 197, …,37
अतः यहाँ a = 213, d = – 8
अतः श्रेणी में पदों की संख्या a_n = a + (n – 1)d
⇒ 37 = 213 + (n – 1) x – 8
⇒ 37 = 213 – 8n + 8
⇒ 8n = 221 – 37
⇒ 8n = 184
⇒ n = $\frac{184}{8}$ ⇒ n = 23
चूँकि पदों की संख्या n = 23 विषम है।
अतः मध्य पद = $\frac{n+1}{2}=\frac{23+1}{2}=\frac{24}{2}$ = 2
अतः a₁₂ = a + 11d
= 213 + 11 × – 8
= 213 – 88 = 125

प्रश्न 15.
(i) यदि एक समान्तर श्रेणी का n (UPBoardSolutions.com) वाँ पद (2n – 1) है तो इसका 7 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
(ii) निम्न श्रेणी में पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।
4, 7, 10,…, 148
(iii) अनुक्रम – 7, – 2, 3, 8…. का कौन – सा पद 88 है?
(iv) अनुक्रम 4, 9, 14,19,…. का कौन – सा पद 104 है?
(v) सिद्ध कीजिए कि अनुक्रम 4, 9,14,19…. का 20 वाँ पद 99 है?
हल:
(i) दिया है a_n = 2n – 1
अतः a₇ = 2 x 7 – 1
⇒ a₇ = 14 – 1
⇒ a₇ = 13

(ii) श्रेणी, 4,7 , 10, ….,148
माना श्रेणी में पदों की संख्या n है।
अतः a_n = a + (n – 1)d
⇒ 148 = 4 + (n – 1)3
⇒ 148 = 4 + 3n – 3
⇒ 148 =3n + 1
⇒ 3n = 147
⇒ n = 49

(iii) माना श्रेणी का n वाँ पद 88 है। तब,
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 88 = – 7 + (n – 1) x 5 [∵ a = -7 तथा d = 5]
⇒ 88 = – 7 + 5n – 5
⇒ 5n – 12 = 88
⇒ 5n = 88 + 12
⇒ 5n = 100
⇒ n = $\frac{100}{5}$
⇒ n= 20

(iv) दी गयी श्रेणी (UPBoardSolutions.com) 4, 9, 14, 19,….
माना श्रेणी का n वाँ पद 104 है। अतः
a_n = a + (n – 1)d
⇒ 104 = 4 + (n – 1)5 [∵ a = 4 तथा d = 5]
⇒ 104= 4 + 5n – 5
⇒ 104 = 5n – 1
⇒ 5n = 105
⇒ n= 21

(v) दी गयी श्रेणी 4, 9, 14, 19, ….
अतः a₂₀ = a + 19d
⇒ a₂₀ = 4 + 19 x 5
⇒ a₂₀ = 4 + 95
⇒ a₂₀ = 99

प्रश्न 16.
यदि एक समान्तर श्रेणी के पहले p पदों (UPBoardSolutions.com) का योग ap² + bp है। तब इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
हलः
समान्तर श्रेणी के p पदों का योग = ap² + bp
तब S_p = ap² + bp
S_p-1 = a(p – 1)² + b(p – 1)
S_p-1 = a(p² + 1 – 2p) + bp – b
S_p-1 = ap² – 2ap + a + bp – b
समान्तर श्रेणी का p वाँ पद = T_p
∴ T_p = S_p – S_p-1
T_p = (ap² + bp) – (ap² – 2ap + a + bp – b)
T_p = 2ap – a + b
T_p = a(2p – 1) + b
p= 1, 2, 3,… रखने पर,
T₁ = a(2 × 1 – 1) + b = a(2 – 1) + b = a + b
T₂ = a(2 × 2 – 1) + b = a(4 – 1) + b = 3a + b
T₃ = a(2 × 3 – 1) + b = a(6 – 1) + b = 5a + b
अतः समान्तर श्रेणी a + b, 3a + b, 5a + b,…
तब सार्वअन्तर d = (3a + b) – (a + b)
= 3a + b – a – b – 2a
अतः समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर = 2a

प्रश्न 17.
एक समान्तर श्रेणी का पहला पद 6 है (UPBoardSolutions.com) तथा सार्वअन्तर – 3 है तब इसका 16 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि a_n = a + (n – 1)d
अतः a₁₆ = a + (16 – 1)d
a₁₆ = 6 + 15 × – 3 (यहाँ a = 6, d = – 3,)
a₁₆ = 6 – 45
= – 39

प्रश्न 18.
एक समान्तर श्रेणी का चौथा पद 14 है तथा 12 वाँ पद 70 है तब इसका पहला पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है : a₄ = 14 तथा a₁₂ = 70
अतः 14 = a + 3d …(1)
70 = a + 11d …(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर
– 8d = – 56
⇒ d = 7
d का मान समीकरण (1) में रखने पर
14 = a + 3 × 7
14 = a + 21
a = – 7

प्रश्न 19.
एक समान्तर श्रेणी का पहला पद p है तथा सार्वअन्तर q है। इसका 10 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, पहला पद = p
सार्वअन्तर d = q
अतः a₁₀ = a + 9d
⇒ a₁₀ = p + 9q

Ex 5.1 Arithmetic Progressions लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)

प्रश्न 20.
एक समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए जिसका 3 (UPBoardSolutions.com) वाँ पद 16 है तथा 7 वाँ पद उसके 5 वें पद से 12 अधिक (NCERT)
हलः
दिया है,
a₃ = 16
⇒ a + 2d = 16 ….(1)
a₇ – a₅ = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
6d – 4d = 12
2d = 12
⇒ d = 6
d का मान समीकरण (1) में रखने पर
a + 2 × 6 = 16
⇒ a = 16 – 12
⇒ a = 4
अतः श्रेणी 4, 10, 16, 22,…

प्रश्न 21.
एक समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए जिसमें a₂₅ – a₁₂ = – 52
हलः
दिया है, a₂₅ – a₁₂ = – 52
⇒ a + 24d – a – 11d = –52
⇒ 24d – 11d = -52
⇒ 13d = -52
⇒ d = – 4

प्रश्न 22.
n के किस मान के लिए, समान्तर श्रेणी (UPBoardSolutions.com) 63, 65, 67, … तथा 3, 10, 17,… के n वें पद बराबर हैं?
हलः
दी गई श्रेणी 63, 65, 67….
अतः a_n = a + (n – 1)d
a_n = 63 + (n – 1)2
a_n = 63 + 2n – 2
a_n = 61 + 2n …(1)
पुनः श्रेणी 3, 10, 17, ….
अतः a_n = 3 + (n – 1)7
⇒ a_n = 3 + 7n – 7
⇒ a_n = 7n – 4 …(2)
दिया है! दोनों श्रेणीयों में n वें पद बराबर है।
अतः 61 + 2n = 7n – 4
⇒ 5n = 65
⇒ n = 13

प्रश्न 23.
समान्तर श्रेणी 8, 14, 20, 26,… का कौन – सा पद 41 वें पद से 72 अधिक होगा?
हलः
दी गयी श्रेणी, 8, 14, 20, 26,…
माना इस श्रेणी का nवाँ पद 41वें पद से 72 अधिक है। अतः
a_n – a₄₁ = 72
⇒ [a + (n – 1)d] – [a + 40d] = 72
⇒ a + nd – d – a – 40d = 72
⇒ nd – 41d = 72
⇒ n × 6 – 41 × 6 = 72
⇒ 6n = 72 + 246
⇒ 6n = 318 ⇒ n = $\frac{318}{6}$
⇒ n = 53

प्रश्न 24.
समान्तर श्रेणी 3, 15, 27, 39,… का (UPBoardSolutions.com) कौन – सा पद इसके 21 वें पद से 120 अधिक है?
हलः
दी गयी श्रेणी, 3, 15, 27, 39,…
माना इस श्रेणी का nवाँ पद 21वें पद से 120 अधिक है। अतः
a_n – a₂₁ = 120
⇒ [a + (n – 1)d] – [a + 20d] = 120
⇒ a + nd – d – a – 20d = 120
⇒ nd – 21d = 120
⇒ (n – 21)d = 120
⇒ (n – 21) × 12 = 120 (∵ d = 12)
⇒ n – 21 = 10
⇒ n = 10 + 21
⇒ n= 31

प्रश्न 25.
एक समान्तर श्रेणी का 9 वाँ पद, दूसरे पद का 6 गुना है। यदि इसका 5 वाँ पद 22 है। तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है। दिया है :
a₉ = 6 × a₂
⇒ a + 8d = 6(a + b)
⇒ a + 8d = 6a + 6d
⇒ 5a = 2d
⇒ a = $\frac{2 d}{5}$
तथा a₅ = 22 …(1)
a + 4d = 22
समी० (1) से a का मान रखने पर,
$\frac{2 d}{5}$ + 4d = 22
⇒ 2d + 20d = 22 × 5
⇒ 22d = 22 × 5
⇒ d = 5
अतः a = $\frac{2 \times 5}{5}$ = 2
अतः समान्तर श्रेणी 2, 7, 12, 17,…

प्रश्न 26.
एक समान्तर श्रेणी का 24 वाँ पद, 10 वें पद का 2 गुना (UPBoardSolutions.com) है। तो सिद्ध कीजिए कि इसका 72 वाँ पद, 15 वें पद का चार गुना है।
हलः
दिया है : a₂₄ = 2 × a₁₀
⇒ a + 23d = 2 × (a + 9d)
⇒ a + 23d = 2a + 18d
⇒ a = 5d ….(1)
अतः a₇₂ = a + 71d
a₇₂ = 5d + 71d [समीकरण (1) से a = 5d रखने पर]
⇒ a₇₂ = 76d
= 4 × 19d …(2)
पुनः a₁₅ = a + 14d
⇒ a₁₅ = 5d + 14d
⇒ a₁₅ = 19d …(3)
⇒ समीकरण (2) तथा (3) से
a₇₂ = 4 × a₁₅ यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 27.
एक समान्तर श्रेणी के 5 वें तथा 9 वें पदों का योग 30 है। यदि इसका (UPBoardSolutions.com) 25 वाँ पद, इसके 8 वें पद का तीन गुना है तो समान्तर श्रेणी ज्ञात कीजिए।
हलः
माना श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
∵ a₅ + a₉ = 30
⇒ a + 4d + a + 8d = 30
⇒ 2a + 12d = 30
⇒ a + 6d = 15 …(1)
दिया है., a₂₅ = 3 × a₈
⇒ a + 24d = 3 × (a + 7d)
⇒ a + 24d = 3a + 21d
⇒ a = $\frac{3 d}{2}$ …(2)
समीकरण (2) से a का मान समीकरण (1) में रखने पर
$\frac{3 d}{2}$ + 6d = 15
⇒ 3d + 12d = 15 × 2
⇒ 15d = 15 × 2
⇒ 15d = 30
⇒ d = 2
तथा a = 3
अतः श्रेणी 3, 5, 7, 9….

प्रश्न 28.
101 तथा 999 के बीच की प्राकृतिक संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जोकि 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं।
हलः
∵ 101 तथा 999 के बीच प्राकृतिक संख्यायें जोकि 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं।
∴ 110, 120, 130, …, 990
तब a= 110 तथा d = 120 – 110 = 10 तथा अन्तिम पद l = 990
l = a + (n – 1)d
990 = 110 + (n – 1) × 10
990 – 110 = (n – 1) × 10
880 = (n – 1) × 10
⇒ $\frac{880}{10}$ = n – 1
88 = n – 1
88 + 1 = n या n = 89
अत: 101 तथा 999 के बीच प्राकृतिक संख्याओं (UPBoardSolutions.com) की संख्या जो 2 तथा 5 दोनों के द्वारा विभाजित हैं = 89

Ex 5.1 Arithmetic Progressions दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 29.
(i) सिद्ध कीजिए कि a_n = 4n + 5 के द्वारा स्पष्ट अनुक्रम < a_n > एक समान्तर अनुक्रम है तथा समान्तर श्रेणी का सार्वअन्तर भी ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि एक अनुक्रम का n वाँ पद, a_n = n² – n + 1 है तो इसके प्रथम पाँच पद ज्ञात कीजिए।
हलः
(i) दिया है a_n = 4n + 5
अतः a₁ = 4 × 1 + 5 = 9
a₂ = 4 × 2 + 5 = 13
a₃ = 4 × 3 + 5 = 17
अतः श्रेणी a₁, a₂,a₃,…. या 9,13,17,…
एक समान्तर अनुक्रम है।
अतः सार्वअन्तर, d = a₂ – 44
⇒ d = 13 – 9
⇒ d = 4

(ii) दिया है, a_n = n² – n + 1
n = 1, 2, 3, 4, 5 रखने पर
a₁ = 1² – 1 + 1 = 1
a₂ = 2² – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3
a₃ = 3² – 3 + 1 = 9 – 3 + 1 = 7
a₄ = 4² – 4 + 1= 16 – 4 + 1 = 13
a₅ = 5² – 5 + 1 = 25 – 5 + 1 = 21
अतः प्रथम पाँच पद 1, 3, 7, 13, 21

प्रश्न 30.
यदि एक समान्तर श्रेणी का 9 वाँ पद – 6 है तथा (UPBoardSolutions.com) सार्वअन्तर $\frac{5}{4}$ है तो इसका 25 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, a₉ = – 6 तथा d = $\frac{5}{4}$
⇒ a + 8d = – 6
⇒ a + 8 × $\frac{5}{4}$ = – 6
⇒ a + 10 = – 6
⇒ a = – 16
अतः a₂₅ = a + 24d
= – 16 + 24 × $\frac{5}{4}$
= – 16 + 6 × 5 = – 16 + 30
⇒ a₂₅ = 14

प्रश्न 31.
सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं की संख्या ज्ञात कीजिए जोकि 9 के द्वारा विभाजित है।
हलः
हम जानते हैं कि 108 तथा 999 क्रमशः सबसे छोटी (UPBoardSolutions.com) तथा बड़ी संख्याएँ हैं जोकि 9 से विभाजित हैं अतः श्रेणी 108, 117, 124,…999 होगी।
अत: a = 108, d = 9 तथा l = 999
a_n = 108 + (n – 1) × 9
⇒ 999 = 108 + 9n – 9
⇒ 999 – 108 = 9n – 9
⇒ 9n – 9 =891
⇒ 9n = 891 + 9
⇒ 9n = 900
⇒ n = $\frac{900}{9}$
⇒ n = 100
अतः पदों की संख्या = 100

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 5 Arithmetic Progressions Ex 5.1 समान्तर श्रेणी

Share this: