Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.4

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.4 द्विघात समीकरण

प्रश्न 1.
k का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए (UPBoardSolutions.com) समीकरण x² – 4x + k = 0 के मूल वास्तविक और भिन्न
हलः
x² – 4x + k = 0
यहाँ a = 1, b = – 4, c = k
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं
∴ विविक्तकर, D > 0
या b² – 4ac > 0
( – 4)² – 4 × 1 × k > 0
16 – 4k > 0
16 > 4k या $\frac{16}{4}$ > k
k < 4

प्रश्न 2.
यदि P, q और r वास्तविक हैं तथा p ≠ q तब सिद्ध (UPBoardSolutions.com) कीजिए कि समीकरण (p – q)x² + 5(p + q)x – 2(p – q) = 0 के मूल वास्तविक और असमान हैं।
हलः
समीकरण (p – q)x² + 5(p + q)x – 2(p – q) = 0
विविक्तकर, D = b² – 4ac
= {5 (p + q)}² – 4(p – q) × – 2(p – q)
= 25 (p² + q² + 2pq) + 8(p – q)²
= 25p2²+ 25q² + 50 pq + 8(p² + q² – 2pq)
= 25p² + 25q² + 50pq + 8p² + 8q² – 16pq
= 33p² + 33q² + 34pq
∵ D > 0
∴ दी गई समीकरण के मूल वास्तविक और असमान हैं। इति सिद्धम्।

प्रश्न 3.
k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x² + 5kx + 16 = 0 के मूल वास्तविक नहीं हैं।
हलः
x² + 5kx + 16 = 0
यहाँ a = 1, b = 5k, c = 16
∵ समीकरण के मूल वास्तविक नहीं हैं
∴ b² – 4ac < 0
(5k)² – 4 × 1 × 16 < 0
25k² – 64 < 0
k² < $\frac{64}{25}$ k < $\sqrt{\frac{64}{25}}$
या k < $\pm \frac{8}{5}$
या – $\frac{8}{5}$ < k < $\frac{8}{5}$ [∵ x² – a < 0 ⇒ – a < x < a]

प्रश्न 4.
k के किस मान के लिए, (4 – k)x² + (2k + 4)x + (8k + 1) = 0 पूर्ण वर्ग है?
हलः
(4 – k)x² + (2k + 4)x + (8k + 1) = 0
यहाँ a = (4 – k), b = (2k + 4), c = (8k + 1)
∵ मूल पूर्ण वर्ग हैं।
∴ b² – 4ac > 0
(2k + 4)² – 4(4 – k)(8k + 1) > 0
4k² + 16 + 16k – 4(32k + 4 – 8k² – k) > 0 (UPBoardSolutions.com)
4k² + 16 + 16k – 4( – 8k² + 31k + 4) > 0
4[k² + 4 + 4k + 8k² – 31k – 4] > 0
9k² – 27k > 0
9k(k – 3) > 0
जब 9k > 0 तब k > 0
जब k – 3 > 0 तब k > 3

प्रश्न 5.
k का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण x² + k(2x + k – 1) + 2 = 0 के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
हलः
समीकरण x² + k (2x + k – 1) + 2 = 0
x² + 2kx + k² – k + 2 = 0
यहाँ a = 1, b = 2k, c = k² – k + 2
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(2k)² – 4 × 1 × (k² – k + 2) = 0
4k² – 4k² + 4k – 8 = 0
4k – 8 = 0
k = $\frac{8}{4}$ ⇒ k = 2

प्रश्न 6.
निम्नलिखित प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) जिसके लिए निम्न समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
(i) x² – 2(k + 1)x + k² = 0
(ii) k²x² – 2(2k – 1)x + 4 = 0
(iii) (k + 1)x² – 2(k – 1)x + 1 = 0
(iv) kx(x – 2) + 6 = 0 (NCERT)
(v) x² – 4kx + k = 0
हलः
(i) x² – 2(k + 1)x + k² = 0
यहाँ a = 1, b = – 2(k + 1), c = k²
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
[- 2(k + 1)]² – 4 × 1 × k² = 0
4(k + 1)² – 4k² = 0
4 (k² + 1 + 2k – k²) = 0
1 + 2k = 0 या k= $-\frac{1}{2}$

(ii) k²x² – 2(2k – 1)x + 4 = 0
यहाँ a = k², b = – 2(2k – 1), c = 4
∵ समीकरण के मूल वास्तविक (UPBoardSolutions.com) और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
[- 2(2k – 1)]² – 4 × k² × 4 = 0
4(2k – 1)² – 16k² = 0
4[(2k – 1)² – 4k²] = 0
4k² + 1 – 4k – 4k² = 0
1 – 4k = 0 या 1 = 4k
k = $\frac{1}{4}$

(iii) (k + 1)x² – 2(k – 1)x + 1 = 0
यहाँ a = (k + 1), b = – 2(k – 1), c = 1
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
[- 2(k – 1)]² – 4 × (k + 1) × 1 = 0
4 (k – 1)² – 4(k + 1) = 0
4[(k – 1)² – (k + 1)] = 0
k² + 1 – 2k – k – 1 = 0
k² – 3k = 0 या k(k – 3) = 0
∴ k = 0 तथा k – 3 = 0 या k = 3
अत: k = 0, 3

(iv) kx(x – 2) + 6 = 0
या kx² – 2kx + 6 = 0
यहाँ a = k, b = – 2k, c = 6
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(- 2k)² – 4 × k × 6 = 0
4k² – 24k = 0
4k (k – 6) = 0
∴ 4k = 0 तथा k – 6 = 0
k = 0 , k = 6
अत: k = 0, 6

(v) x² – 4kx + k = 0
यहाँ a = 1, b = – 4k, c = k
∵ समीकरण के मूल वास्तविक और बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(- 4k)² – 4 × 1 × k = 0
16k² – 4k = 0
4k (4k – 1) = 0
∴ 4k = 0 तथा 4k – 1 = 0
k = 0, k = $\frac{1}{4}$
अत:k = 0, $\frac{1}{4}$

प्रश्न 7.
यदि समीकरण (b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0 (UPBoardSolutions.com) के मूल बराबर हैं तब सिद्ध कीजिए कि 2b = a + c अर्थात् a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं।
हलः
(b – c)x² + (c – a)x + (a – b) = 0
यहाँ a = (b – c), b = (c – a), c = (a – b)
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0
c² + a² – 2ca – – 4(ab – b² – ca + bc) = 0
c² + a² – 2ca – 4ab + 4b² + 4ca – 4bc = 0
c² + a² + 2ca + 4b² – 4ab – 4bc = 0
c² + a² + (- 2b)² + 2ca + 2a(- 2b) + 2(- 2b)c = 0
(c + a – 2b)² = 0
c + a = 2b
या 2b = a + c
अर्थात् a, b और c समान्तर श्रेणी में हैं। इति सिद्धम्।

प्रश्न 8.
k के किस मान के लिए, द्विघात समीकरण (UPBoardSolutions.com) (3k + 1)x² + 2(k + 1)x + 1 = 0 के मूल बराबर हैं?
हलः
(3k + 1) x² + 2(k + 1)x + 1 = 0
यहाँ a = (3k + 1), b = 2(k + 1), c = 1
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
[2(k + 1)]² – 4(3k + 1) × 1 = 0
4(k + 1)² – 4(3k + 1) = 0
4 [(k + 1)² – (3k + 1)] = 0
k² + 1 + 2k – 3k – 1 = 0
k² – k = 0
k(k – 1) = 0
तब, k = 0 तथा k – 1 = 0 ⇒ k = 1
अत: k = 0, k = 1

प्रश्न 9.
k का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए द्विघात समीकरण (UPBoardSolutions.com) (k + 1)x² – 6(k + 1)x + 3(k + 9) = 0, k ≠ – 1 के मूल बराबर हैं तथा मूलों को भी ज्ञात कीजिए।
हलः
(k + 1)x² – 6(k + 1)x + 3(k + 9) = 0 जहाँ k ≠ – 1
यहाँ a = (k + 1), b = – 6(k + 1), c = 3(k + 9)
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं। अतः
∴ b² – 4ac = 0
[- 6(k + 1)]² – 4 × (k + 1) × 3 (k + 9) = 0
36(k + 1)² – 12(k + 1) (k + 9) = 0
12(k + 1)[3 (k + 1) – (k + 9)] = 0
(k + 1)(3k + 3 – k – 9) = 0
(k + 1)(2k – 6) = 0
अतः 2k – 6 = 0 (∵ k≠ – 1)
या 2k = 6
या k = 3
k का मान समीकरण में रखने पर, (3 + 1)x² – 6(3 + 1)x + 3(3 + 9) = 0
4x² – 24x + 3 × 12 = 0
4x² – 24x + 36 = 0
x² – 6x + 9 = 0
(x)² – 2 × 3 × x + (3)² = 0
(x – 3)² = 0
अतः x = 3, 3

प्रश्न 10.
यदि – 5, एक द्विघात समीकरण 2x² + px – 15 = 0 का मूल है और द्विघात समीकरण p(x² + x) + k = 0 के मूल बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
द्विघात समीकरण 2x² + px – 15 = 0 का एक मूल –5 है।
तो x = – 5 रखने पर,
2(- 5)² + p(- 5) – 15 = 0
या 50 – 5p – 15 = 0
35 – 5p = 0 या 35 = 5p
या $\frac{35}{5}$ = p या p = 7
तथा द्विघात समीकरण p(x² + x) (UPBoardSolutions.com) + k = 0
∵ p = 7
∴ 7(x² + x) + k = 0
या 7x² + 7x + k = 0
यहाँ a = 7, b = 7, c = k
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(7)² – 4 × 7 × k = 0
49 – 28k = 0 या – 28k = – 49
28k = 49 या k = $\frac{49}{28}=\frac{7}{4}$

प्रश्न 11.
यदि समीकरण (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0 के मूल बराबर हैं तो सिद्ध कीजिए कि a = 0 या a³ + b³ + c³ = 3abc
हलः
समीकरण (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0
A = c² – ab, B = -2(a² – bc), C = b² – ac
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ (B)² – 4AC = 0
[- 2(a² – bc)]² – 4(c² – ab)(b² – ac) = 0
4(a² – bc)² – 4(b²c² – ac³ – ab³ + a²bc) = 0
4(a⁴ + b²c² – 2a²bc – b²c² + ac³ + ab³ – a²bc) = 0
a⁴ + ab³ + ac³ – 3a²bc = 0
a(a³ + b³ + c³ – 3abc) = 0
a = 0 तथा a³ + b³ + c³ – 3abc = 0
a³ + b³ + c³ = 3abc
अतः a = 0 या a³ + b³ + c³ = 3abc इति सिद्धम्।(UPBoardSolutions.com)

प्रश्न 12.
यदि समीकरण (a + b)x² – 2(ac + bd) x + (c² + d²) = 0 के मूल बराबर हैं, तो सिद् कीजिए कि $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
हलः
समीकरण (a² + b²)x² – 2(ac + bd)x + (c² + d²) = 0
A = a² + b², B = – 2(ac + bd), C = (c² + d²)
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ B² – 4AC = 0
[- 2 (ac + bd)]² – 4(a² + b²)(c² + d²) = 0
4(ac + bd)² – 4(a²c² + a²d² + b²c² + b²d²)= 0
4[a²c² + b²d² + 2acbd – a²c² – a²d² – b²c² – b²d²] = 0
-a²d² – b²c² + 2acbd = 0
– [(ad)² + (bc)² – 2acbd] = 0
(ad – bc)² = 0
ad – bc = 0
ad = bc
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ इति सिद्धम्।

प्रश्न 13.
यदि द्विघात समीकरण 3x² + px – 8 = 0 का एक मूल 2 है और(UPBoardSolutions.com) द्विघात समीकरण 4x² – 2px + k = 0 के मूल बराबर हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
द्विघात समीकरण 3x² + px – 8 = 0 का एक मूल 2 है।
तो x = 2 रखने पर,
3(2)² + px2 – 8 = 0
या 3 × 4 + p × 2 – 8 = 0
12 + 2p – 8 = 0
या 4 + 2p = 0
या 2p = – 4 या p = $-\frac{4}{2}$
p = – 2
तथा द्विघात समीकरण 4x² – 2px + k = 0 में p = – 2 रखने पर,
∴ 4x² – 2( – 2)x + k = 0
या 4x² + 4x + k = 0
यहाँ a = 4, b = 4, c = k
∵ समीकरण के मूल बराबर हैं।
∴ b² – 4ac = 0
(4)² – 4 × 4 × k = 0
16 – 16k = 0
या – 16k = – 16
या k = $\frac{16}{16}$ ⇒ k = 1

प्रश्न 14.
यदि समीकरण ax² + 2bx + c = 0 और bx² – 2 $\sqrt{{ac}}$ x + b = 0 के मूल साथ – साथ वास्तविक हैं तो सिद्ध कीजिए कि b² = ac अर्थात् a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
हलः
यदि समीकरण ax² + 2bx + c = 0 और bx² – 2 $\sqrt{{ac}}$ x + b = 0 के मूल वास्तविक हैं।
(2b)² – 4ac = (- 2 $\sqrt{{ac}}$ )² – 4b × b
4b² – 4ac = 4ac – 4b²
4b² + 4b² = 4ac + 4ac
8b² = 8ac
b² = ac
अर्थात् a, b, c गुणोत्तर श्रेणी में हैं। इति सिद्धम्।

प्रश्न 15.
यदि समीकरण lx² + nx + n = 0 के मूलों का (UPBoardSolutions.com) अनुपात p : q है तब सिद्ध कीजिए-
$\sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{n}{l}}=0$ (UP 2006, 08, 15)
हलः
माना समीकरण lx² + nx + n = 0 के मूल α व β हैं।

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.4 द्विघात समीकरण

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