Free PDF download of UP Board Solutions for Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 3.1, are provided here, contain detailed explanations of all the problems mentioned in the UP Board Solutions. Students should solve questions from these UP Board solution of class 10, which will help them to prepare well for their exams.
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equation in Two Variables Ex 3.1 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
प्रश्न 1.
आलेखीय विधि द्वारा सिद्ध (UPBoardSolutions.com) कीजिए कि रैखिक समीकरण युग्म
2x – 3y = 5 और
6y – 4x = 3
असंगत है अर्थात् कोई हल नहीं रखता।
हल:
रैखिक समीकरण युग्म
2x – 3y = 5 ….(1)
और 6y – 4x = 3 …(2)
समी० (1) से,
∵ दोनों रेखायें समान्तर हैं।
∴ रेखायें असंगत हैं अर्थात् कोई हल (UPBoardSolutions.com) नहीं है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेखा युग्म निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
(i) 2x + 3y = 4; 3x – y = – 5
(ii) 2x + 3y = 2; x – 2y = 8
हल:
(i) रेखायुग्म 2x + 3y = 4 …..(1)
और 3x – y = – 5 ………..(2)
समी० (1) से,
उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ बिन्दु (UPBoardSolutions.com) A (- 1, 2) पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः x = – 1 y = 2
(ii) रेखायुग्म 2x + 3y = 2 ……..(1)
और x – 2y = 8 ………….(2)
समी० (1) से,
चूँकि दोनों रेखायें अंतः बिन्दु (4, – 2) पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः निकाय का हल है। अतः
x = 4 y = – 2
प्रश्न 3.
निम्न समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
4x – 5 = 20 = 0; 3x + 5y – 15 = 0
तथा इन दो रेखाओं तथा y – अक्ष से बने (UPBoardSolutions.com) त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हलः
समीकरण निकाय 4x – 5y – 20 = 0 या 4x – 5y = 20 …………(1)
3x + 5y – 15 = 0 या 3x + 5y = 15 ………(2)
समी० (1) से, 4x – 20 = 5y
उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखायें बिन्दु B (5, 0) पर प्रतिच्छेद करती है।
अतः x = 5, y = 0
तथा दोनों रेखाओं व y – अक्ष से बने त्रिभुज (UPBoardSolutions.com) के शीर्ष (0, – 4), (5, 0), (0, 3) हैं।
प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
2x – y = 1; x – y = – 1
तथा इन रेखाओं तथा y – अक्ष से घिरे क्षेत्र को छायांकित कीजिए।
हलः
समीकरण निकाय 2x – y = 1 …..(1)
और x – y = – 1 ……………(2)
समी० (1) से, 2x – 1 = y
या y = 2x – 1
उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखायें बिन्दु C (2, 3) पर काटती है।
अतः x = 2, y = 3
प्रश्न 5.
आलेखीय विधि से जाँचिए कि निम्न रैखिक समीकरण (UPBoardSolutions.com) निकाय 3x + 5y = 15 तथा x – y = 5 संगत निकाय है तथा उस बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए जहाँ इन समीकरणों का ग्राफ, y – अक्ष को काटता है।
हलः
रैखिक समीकरण निकाय 3x + 5y = 15 …(1)
और x – y = 5 …(2)
समी० (1) से,
उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखायें एक – दूसरे को बिन्दु D (5, 0) पर काटती है।
अतः समीकरण संगत निकाय है।
तथा उन बिन्दुओं के निर्देशांक जहाँ इन समीकरणों का ग्राफ, y – अक्ष को काटता है।
A(0, 3) तथा B(0, – 5)
प्रश्न 6.
निम्न रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
4x – 5y + 16 = 0; 2x + y – 6 = 0
तथा इन रेखाओं तथा x – अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हलः
समीकरण निकाय 4x – 5y + 16 = 0 ……….(1)
और 2x + y – 6 = 0 ……..(2)
समी० (1) से, 4y – 5y + 16 = 0
⇒ 5y = 4x + 16
चूँकि दोनों रेखायें बिन्दु A(1, 4) पर एक – दूसरे को काटती हैं, अत: x = 1 तथा y = 4 समीकरण के हल हैं।
तथा x – अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक (UPBoardSolutions.com) A(1, 4), B( – 4, 0), C(3, 0) हैं।
प्रश्न 7.
आलेखीय विधि द्वारा हल सिद्ध कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
2x + 4y = 10; 3x + 6y = 12
हलः
रेखायुग्म 2x + 4y = 10 ………….(1)
और 3x + 6y = 12 ….(2)
समी० (1) से, 4y = 10 – 2x
चूँकि दोनों रेखायें समान्तर हैं। अतः निकाय का कोई हल नहीं है।
प्रश्न 8.
निम्न रैखिक समीकरण निकाय को (UPBoardSolutions.com) आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
(i) 2x – 5y + 4 = 0
2x + 5y – 8 = 0
(ii) x + 2y – 7 = 0
2x – y – 4 = 0
(iii) 3x + y – 5 = 0
2x – y – 5 = 0
(iv) 3x + 2y = 12
5x – 2y = 4
हल:
(i) समीकरण निकाय 2x – 5y + 4 = 0 ………..(1)
और 2x + 5y – 8 = 0 ……(2)
समी० (1) से, 2x + 4 = 5y या = y
उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखाएँ (UPBoardSolutions.com) एक – दूसरे को बिन्दु (1, ) पर काटती हैं।
अतः x=1 तथा y =
(ii) समीकरण निकाय x + 2y – 7 = 0 ……(1)
और 2x – y – 4 = 0 …………..(2)
समी० (1) से,
2y = 7 – x
∵ दोनों रेखाएँ एक – दूसरे को बिन्दु (3, 2) पर काटती हैं।
अतः x = 3 तथा y = 2
(iii) समीकरण निकाय 3x + 5 = 0 …………(1)
और 2x – y – 5 = 0 …….(2)
समी० (1) से, y = 5 – 3x
चूँकि दोनों रेखायें एक – दूसरे को बिन्दु (2, – 1) पर काटती हैं।
अत: x = 2 तथा y = – 1 समीकरण के हल हैं (UPBoardSolutions.com) तथा x – अक्ष तथा रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज के निर्देशांक (2, – 1), (3, 0) तथा (2, 0) है।
(iv) समीकरण निकाय 3x + 2y = 12 …(1)
और 5x – 2y = 4 …(2)
समी० (1) से, 2y = 12 – 3x या y =
∵ दोनों रेखायें एक – दूसरे को बिन्दु (2, 3) पर काटती हैं।
∴ x = 2 तथा y = 3
प्रश्न 9.
निम्न रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
3x + y – 11 = 0
x – y – 1 = 0
इन रेखाओं तथा y – अक्ष से घिरे क्षेत्र को छायांकित (UPBoardSolutions.com) कीजिए तथा छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हलः
समीकरण 3x + y – 11 = 0
या 3x + y = 11 …(1)
और x – y – 1 = 0
या x – y = 1 ……(2)
समी० (1) से, y = 11 – 3x
उपरोक्त ग्राफ से स्पष्ट है कि दोनों रेखायें बिन्दु B (3, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः x = 3, y = 2
तथा छायांकित भाग (त्रिभुज) के शीर्ष के निर्देशांक
0(0, 0), D(0, – 1) तथा E (1, 0)
∆ODE का क्षेत्रफल = [x1 (y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3 (y1 – y2)]
= [0(1 – 0) + 0 (0 – 0) + 1 (0 + 1)]
= [0 + 0 + 1] = × 1 = वर्ग इकाई
प्रश्न 10.
निम्न रैखिक समीकरण निकाय को आलेखीय विधि द्वारा हल कीजिए।
4x – 5y – 20 = 0; 3x + 5y – 15 = 0
तथा इन समीकरणों द्वारा निरूपित रेखाओं तथा y – अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्ष के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हलः
समीकरण निकाय 4x – 5y – 20 = 0 ……..(1)
और 3x + 5y – 15 = 0 …………..(2)
समी० (1) से, 4x – 20 = 5y
∵ ‘दोनों रेखायें एक – दूसरे को बिन्दु (5, 0) पर काटती हैं।
अतः x= 5 तथा y = 0
तथा इन रेखाओं तथा y – अक्ष से बने ∆ABC के निर्देशांक A = (5, 0), B =(0, – 3) तथा C = (0, – 4) हैं।
प्रश्न 11.
कक्षा – 10 के 10 विद्यार्थीयों ने एक गणित की पहेली (UPBoardSolutions.com) प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लडकियों की संख्या, लड़कों की संख्या से 4 अधिक है, तो प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़के तथा लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः
माना लड़कों की संख्या = x तथा लड़कियों की संख्या = x + 4
प्रश्नानुसार, कुल विद्यार्थी = 10
x + x + 4 = 10
2x = 10 – 4
2x = 6x =
x = 3
अतः लड़कों की संख्या, x = 3
तथा लड़कियों की संख्या, x + 4 = 3 + 4 = 7
प्रश्न 12.
c के किन मानों के लिए निम्न रैखिक समीकरण निकाय अपरिमित हल रखता है?
(i) 2x + 3y = 2; (c + 2)x + (2c + 1)y = 2(c – 1)
(ii) (c – 1)x + y = 5; (c + 1)x + (1 – c)y = 3x + 1
(iii) cx + 3y – (c – 3) = 0; 12x + cy – c= 0
हलः
(i) 2x + 3y = 2 तथा (c + 2)x + (2c + 1)y = 2(c – 1)
प्रश्न 13.
a के किन मानों के लिए निम्न रैखिक (UPBoardSolutions.com) समीकरण निकाय कोई हल नहीं रखते हैं?
(i) ax + 3y = a – 2; 12x + ay = a
(ii) (3a + 1)x + 3y – 2 = 0; (a + 1)x + (a – 2)y – 5 = 0
(iii) x + 2y = 5; 3x + ay + 15 = 0
हलः
(i) समीकरण निकाय
ar + 3y = a – 2
12x + ay = a
∵ रैखिक समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।
प्रश्न 14.
a व b के वे मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए निम्न निकाय अपरिमित हल रखता है।
(i) 2x + 3y = 7; (a + b + 1)x + (a + 2b + 2)y = 4(a + b) + 1
(ii) 2x + 3y = 7; (a + b)x + (2a – b)y = 3(a + b + 1)
(iii) 3x + 4y = 12; (a + b)x + 2(a – b)y = 5a – 1
हलः
(i) समीकरण निकाय 2x + 3y = 7
और (a + b + 1)x + (a + 2b + 2)y = 4(a + b) + 1
∵ समीकरण निकाय अपरिमित हल रखता है।
अतः.a = 5, b = 1
प्रश्न 15.
चाँदनी एक ‘सेल’ में कुछ पेंट और शर्ट खरीदने गई। (UPBoardSolutions.com) जब उसकी सहेलियों ने पूछा कि प्रत्येक के कितने नग खरीदे, तो उसने उत्तर दिया “शर्ट की संख्या खरीदी गयी पेंटों की संख्या की दोगुनी से दो कम है तथा पुनः शर्ट की संख्या खरीदी गयी पेंटों की संख्या के चार गुना से 4 कम है। सहेलियों की यह जानने के लिए सहायता कीजिए कि चाँदनी ने कितनी पेंट व शर्ट खरीदी? [NCERT]
हलः
माना पेंटों की संख्या = x
तथा शर्टों की संख्या = y
प्रश्नानुसार, पहली शर्त : 2x – 2 = y
2x – y = 2 …(1)
तथा दूसरी शर्त : 4x – y = 4