Free PDF download of UP Board Solutions for Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.1, are provided here, contain detailed explanations of all the problems mentioned in the UP Board Solutions. Students should solve questions from these UP Board solution of class 10, which will help them to prepare well for their exams.
Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.1 बहुपद
Ex 2.1 Polynomials अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)
प्रश्न 1.
यदि बहुपद x2 + x + 1 के मूल α और β हैं तब α + β का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि, (UPBoardSolutions.com)
मूलों का योग, α + β = = -1
प्रश्न 2.
यदि α, β बहुपद x2 + x + 1 के मूल हैं तब का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि,
प्रश्न 3.
यदि α, β बहुपद 4x2 + 3x + 7 के (UPBoardSolutions.com) मूल हैं तब αβ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि,
मूलों का गुणनफल, α · β =
प्रश्न 4.
यदि α, β बहुपद 4x2 + 3x + 7 के मूल हैं तब (UPBoardSolutions.com) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
हम जानते हैं कि, मूलों का योग, α · β =
तथा मूलों का गुणनफल, α · β =
प्रश्न 5.
यदि α, β बहुपद x2 + 6x + 2 के मूल हैं (UPBoardSolutions.com) तब का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
प्रश्न 6.
यदि α, β बहुपद f (x) = x2 + x – 2 के मूल हैं तो का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
f(x) = x2 + x – 2
प्रश्न 7.
यदि α, β द्विघात बहुपद f(x) = 6x2 + x – 2 के मूल हैं (UPBoardSolutions.com) तो का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
f(x) = 6x2 + x – 2
प्रश्न 8.
यदि द्विघात बहुपद f (x) = 4x2 – 5x – 1 के मूल (UPBoardSolutions.com) α और β हैं, तो α2β + αβ2 का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f(x) = 4x2 – 5x – 1
तो α2β + αβ2 = α·β (α + β)
प्रश्न 9.
यदि α, β बहुपद f(x) = x2 – p(x + 1) – c के मूल हैं (UPBoardSolutions.com) तब (α + 1)(β + 1) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
ज्ञात करना है, (α + 1)(β + 1) = α · β + α + β + 1
= α · β + (α + β) + 1
=
= -p – c + p + 1 = 1 – c
प्रश्न 10.
यदि α, β बहुपद x2 – p(x + 1) – c के मूल हैं तथा (α + 1)(β + 1) = 0, तब c का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(α + 1)(β + 1) = α · β + α + β + 1
= α · β + (α + β) + 1
=
= -p – c + p + 1 = 1 – c
दिया है, (α + 1)(β + 1) = 0
1 – c = 0
1 = c या c = 1
प्रश्न 11.
बहुपद x2 + – 2 के मूल ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद, f(x) = x2 + – 2
अब f(x) = 0 तो, 0 = x2 + – 2
6x2 + x – 12 = 0
6x2 + 9x – 8x -12 = 0
3x(2x + 3) – 4 (2x + 3) = 0
(2x + 3)(3x – 4) = 0
2x + 3 = 0 तथा 3x – 4 = 0
2x = -3 3x = 4
x = x =
अत: बहुपद के दो मूल व हैं। .
प्रश्न 12.
यदि एक द्विघातीय बहुपद kx2 + 3x + k का एक (UPBoardSolutions.com) मूल 2 हैं तब k का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
माना
f(x) = kx2 + 3x + k
⇒ kx2 + 3x + k = 0, जहाँ f (x) = 0
∵ 2 समीकरण का एक मूल है।
∴ समीकरण में x = 2 रखने पर,
k(2)2 + 3 × 2 +k = 0
4k + 6 + k = 0
5k + 6 = 0
5k = -6
k =
प्रश्न 13.
एक द्विघातीय बहुपद x2 + kx + k, k >0 के मूलों का चिह्न ज्ञात कीजिए।
हलः
बहुपद x2 + kx + k, k > 0
∵ विविक्तकर, b2 – 4ac > 0
∴ समीकरण के दोनों मूल धनात्मक होंगे।
Ex 2.1 Polynomials लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)
प्रश्न 14.
बहुपद f (x) = 2x2 + 5x – 12 के मूल ज्ञात कीजिए (UPBoardSolutions.com) तथा इसके मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
हलः
बहुपद f (x) = 2x2 + 5x -12
= 2x2 + 8x – 3x -12
= 2x(x + 4) – 3(x + 4) = (x + 4)(2x – 3)
अब f(x) = 0
तो (x + 4)(2x – 3) = 0
x + 4 = 0 तथा 2x – 3 = 0
x = -4 2x = 3 ⇒ x =
प्रश्न 15.
यदि बहुपद f (x) = ax2 – 6x + 4 के मूलों का गुणनफल 4 है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि f(x) = ax2 – 6x + 4
प्रश्नानुसार, मूलों का गुणनफल = 4
प्रश्न 16.
द्विघात बहुपद f (x) = 6x2 – 3 के मूल ज्ञात कीजिए तथा (UPBoardSolutions.com) मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
हलः
बहुपद f (x) = 6x2 – 3
f(x) = 0 रखने पर,
प्रश्न 17.
निम्न प्रत्येक बहुपदों के मूल ज्ञात कीजिए तथा इनके (UPBoardSolutions.com) मूलों एवं गुणांकों के बीच में सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए।
(i) f1(x) = x2 – 2x – 8 (NCERT)
(ii) f2(x) = 4x2 – 4x + 1 (NCERT)
(iii) f3(x) = x2 – 15 (NCERT)
हल:
(i) बहुपद f1 (x) = x2 – 2x – 8
= x2 – 4x + 2x – 8
= x(x – 4) + 2(x – 4)
= (x – 4)(x + 2)
यदि f (x) = 0 हो तो,
(x – 4)(x + 2) = 0
⇒ x – 4 = 0 तथा x + 2 = 0
x = 4 x = -2
∴ f(x) के मूल 4 तथा -2 हैं।
(ii) बहुपद f2(x) = 4x2 – 4x + 1
= 4x2 – 2x – 2x + 1
= 2x(2x – 1) -1(2x – 1)
= (2x – 1)(2x – 1)
यदि f (x) = 0 हो तो,
(2x – 1)(2x – 1) = 0
⇒ 2x – 1 = 0 तथा 2x – 1 = 0
x = x =
प्रश्न 18.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल (UPBoardSolutions.com) बहुपद f (x) = ar2 + bx + c, a ≠ 0, c ≠ 0 के मूलों के व्युत्क्रम हैं।
हलः
बहुपद f (x) = ax2 + bx + c
माना बहुपद के दो मूल α व β हैं।
Ex 2.1 Polynomials दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)
प्रश्न 19.
एक द्विधात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं-
(i) 1, 1 (NCERT)
(ii) , -1 (NCERT)
(iii) 4, 1 (NCERT)
हल:
(i) दिया है, α + β = 1 तथा α · β = 1
अतः द्विघात बहुपद = x2 – (α + β)x + α ·β = x2 – x + 1
(ii) दिया है, α + β = तथा α ·β = -1
अतः द्विघात बहुपद = x2 – (α + β) x + α ·β
= x2 – x -1
(iii) दिया है, α + β = 4 तथा α · β = 1
अतः द्विघात बहुपद = x2 – (α + β)x + α · β
= x2 – 4x + 1
प्रश्न 20.
द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूलों का योग 8 (UPBoardSolutions.com) तथा गुणनफल 12 है। यहाँ बहुपद के मूलों को ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, मूलों का योग (α + β) = 8
तथा मूलों का गुणनफल (α · β) = 12
अतः द्विघात बहुपद f(x) = x2 – (α + β)x + α·β
⇒ f(x) = x2 – 8x + 12
अब f(x) = 0 रखने पर,
तब, x2 – 8x + 12 = 0
x2 – 6x – 2x + 12 = 0
x(x – 6) -2(x – 6) = 0
(x – 6)(x – 2) = 0
x – 6 = 0 तथा x – 2 = 0
x = 6 x = 2
x = 6 व 2
प्रश्न 21.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके मूलों का योग -5 तथा गुणनफल 6 है। यहाँ बहुपद के मूलों को ज्ञात कीजिए।
हलः
दिया है, मूलों का योग (α + β) = -5
तथा मूलों का गुणनफल (α·β) = 6
अतः द्विघात बहुपद f(x) = x2 – (α + β) x + α·β
= x2 – (-5)x + 6
= x2 + 5x + 6
यदि f(x) = 0 हो तब, x2 + 5x + 6 = 0
x2 + 3x + 2x + 6 = 0
x(x + 3) + 2(x + 3) = 0
(x + 3)(x + 2) = 0
⇒ x + 3 = 0 तथा x + 2 = 0
x = -3 x = -2
अतः मूल -3, -2 हैं।
प्रश्न 22.
एक द्विघातीय बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल 5 और -3 हैं।
हलः
मूलों का योगफल α + β = (5) + (-3) = 5 -3 = 2
तथा मूलों का गुणनफल α·β = 5 × -3 = -15
∴ अभीष्ट बहुपद है,
x2 – (α + β)x + αβ = x2 – 2x – 15
प्रश्न 23.
एक द्विघातीय बहुपद के मूलों का योगफल तथा मूलों (UPBoardSolutions.com) का गुणनफल क्रमशः 3 और -10 हैं तब द्विघातीय बहुपद ज्ञात कीजिए।
हलः
मूलों का योगफल (α + β) = 3
मूलों का गुणनफल (α – β) = -10
∴ अभीष्ट बहुपद है,
x2 – (α + β)x + α·β = x2 – 3x – 10
प्रश्न 24.
यदि α, β एक बहुपद के मूल हैं तथा α + β = 6 और αβ = 4 है तो बहुपद लिखिए।
हलः
यदि α + β = 6 और α·β = 4
तो अभीष्ट बहुपद है,
x2 – (α + β)x + α·β = x2 – 6x + 4