Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 10 Trigonometrical Ratios and Identities Ex 10.4

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Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 10 Trigonometrical Ratios and Identities Ex 10.4 त्रिकोणमितीय अनुपात एवं असमिकाएँ

Ex 10.4 Trigonometrical Ratios and Identities अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

प्रश्न 1.
यदि sinθ = cost तब θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ sinθ = cosθ

प्रश्न 2.
sin²θ sec²θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
sin² θ · sec²θ (UPBoardSolutions.com) = sin²θ · $\frac{1}{\cos ^{2} \theta}$
= tan²θ

प्रश्न 3.
secθ sinθ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
secθ ·sinθ = $\frac{1}{\cos \theta}$ ·sin²
= tanθ

प्रश्न 4.
(secθ – tanθ) (secθ + tanθ) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(secθ – tanθ)(secθ + tanθ) = sec²θ – tan²θ
=1

प्रश्न 5.
यदि cosθ = $\frac{a}{b}$ , तब sine का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 6.
यदि tanθ = $\frac{a}{b}$ , तब $\frac{\cos \theta+\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}$ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः

प्रश्न 7.
यदि x = a cosθ, y = b sinθ, a (b²x² + a²y²) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
x = acosθ तथा y = bsinθ

प्रश्न 8.
(sin⁴ θ – cos⁴ θ + 1) cosec²θ का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(sin⁴ θ – cos⁴ θ + 1)cosec²θ
= [(sin²θ)² – (cos² θ)² + 1]cosec²θ
= [(sin²θ + cos² θ) (UPBoardSolutions.com) (sin² θ – cos²θ) + 1]·cosec²θ
= [1(sin² θ – cos²θ) + sin²θ + cos² θ]cosec²θ
= (sin² θ – cos²θ + sin² θ + cos²θ).cosec²θ
= 2 sin²θ × $\frac{1}{\sin ^{2} \theta}$ = 2

प्रश्न 9.
$\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}$ का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

प्रश्न 10.
$\sqrt{\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}}$ का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

प्रश्न 11.
$\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}$ का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

प्रश्न 12.
$\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$ का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हलः

प्रश्न 13.
(1 + tanθ + secθ)(1 + cotθ – cosecθ) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
(1 + tanθ + secθ) (UPBoardSolutions.com) (1 + cotθ – cosecθ)

प्रश्न 14.
sin² θ + sin⁴ θ = (यदि cosθ + cos² θ = 1) का मान ज्ञात कीजिए।
हलः
यदि cosθ + cos²θ = 1
coso = 1 – cos² θ
cosθ = (UPBoardSolutions.com) sin²θ
या sin² θ = cos ²
तब sin²θ + sin⁴ θ = sin² θ(1 + sin²θ)
= cos θ(1 + cosθ)
= cosθ + cos² θ = 1

Ex 10.4 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न-I (Short Answer Type Questions-I)

निम्न को सिद्ध कीजिए-

प्रश्न 15.
(1 – sin²θ) sec²θ = 1
हलः
L.H.S. = (1 – sin² θ)sec²θ
= cos² θ – sec² θ (UPBoardSolutions.com) (सर्वसम्मिका sin²θ + cos²θ = 1 से)
= cos ²θ· $\frac{1}{\cos ^{2} \theta}$
= 1 = R.H.S

प्रश्न 16.
(secθ + tanθ)² = $\frac{1+\sin \theta}{1-\sin \theta}$
हलः
L.H.S. = (secθ + tanθ)²

प्रश्न 17.
(sin θ – cosθ)(cotθ + tanθ) = secθ – cosec θ
हलः

प्रश्न 18.
$\frac{\sec \theta-\tan \theta}{\sec \theta+\tan \theta}$ = 1 – 2 secθ tan θ + 2 tan²θ
हलः

प्रश्न 19.

हलः
अंश का परिमेयकरण (UPBoardSolutions.com) करने पर,

प्रश्न 20.
(1 – sinθ) (1 + sin θ) (1 + tan²θ) = 1
हलः
L.H.S. = (1 – sinθ)(1 + sinθ)(1 + tan²θ)
= (1 – sin²θ)sec²θ
= cos²θ · (UPBoardSolutions.com) sec²θ
= cos²θ $\frac{1}{\cos ^{2} \theta}$ = 1 = R.H.S.

प्रश्न 21.

हलः

प्रश्न 22.

हलः

प्रश्न 23.

हलः

Ex 10.4 Trigonometrical Ratios and Identities लघु उत्तरीय प्रश्न-II (Short Answer Type Questions-II)

प्रश्न 24.
यदि tan θ + sin θ = a, tanθ – sin θ = b, तब सिद्ध कीजिए a² – b² = 4 $\sqrt{a b}$
हलः
L.H.S. = a² – b²
= (tan θ + sinθ)² – (UPBoardSolutions.com) (tan θ – sinθ)²
= tan² θ + sin² θ + 2 tanθsinθ – tan² θ – sin²θ + 2 tanθ sin²
= 4 tanθ sinθ

∴ L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 25.
यदि asin ³ θ + b cos³ θ = sin θ cosθ in a sinθ – b cos θ = 0, तब सिद्ध कीजिए कि a² + b² = 1
हलः
asin³ θ + bcos ³ θ = sinθ cosθ … (1)
asinθ – bcos θ = 0 … (2)
समीकरण (2) से,
asinθ = bcos θ …(3)
समीकरण (1) से, asinθ, का मान रखने पर
(asinθ).sin²θ + bcos³ θ = sinθ cosθ
bcosθsin²θ + bcos³θ = (UPBoardSolutions.com) sinθ cosθ
bcos θ(sin²θ + cos²θ) = sinθ cosθ
bcosθ (1) = sin θcosθ
∴ b = sin θ …(4)
समीकरण (3) से, b का मान रखने पर
asinθ = sin θcos θ
∴ a = cos θ
L.H.S. = a² + b² …(5)
= cos ²θ + sin²θ
= 1 = R.H.S.

सिद्ध कीजिए कि –

प्रश्न 26.
tanθ – cotθ = $\frac{2 \sin ^{2} \theta-1}{\sin \theta \cos \theta}=\frac{1-2 \cos ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
हलः

प्रश्न 27.
sec² θ + cosec²θ = sec² θ cosec²θ (UP 2000, 02)
हलः
L. H. S. = sec²θ + (UPBoardSolutions.com) cosec²θ

प्रश्न 28.
(cosecθ – cotθ)² = $\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$ (NCERT)
हलः
L. H. S. = (cosecθ – cotθ)²

प्रश्न 29.
$\sqrt{\sec ^{2} \theta+\csc ^{2} \theta}$ = tanθ + cotθ
हलः

प्रश्न 30.
$\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}$ = (cosecθ + cotθ)²
हलः

Ex 10.4 Trigonometrical Ratios and Identities दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

प्रश्न 31.
सिद्ध कीजिए कि tan² A – tan² B = $\frac{\sin ^{2} A-\sin ^{2} B}{\cos ^{2} A \cos ^{2} B}=\frac{\cos ^{2} B-\cos ^{2} A}{\cos ^{2} B \cos ^{2} A}$
हलः

प्रश्न 32.
सिद्ध कीजिए $\frac{\cot \theta+\csc \theta-1}{\cot \theta-\csc \theta+1}=\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}$
हलः

प्रश्न 33.
सिद्ध कीजिए $\frac{1+\cos \theta-\sin ^{2} \theta}{\sin \theta(1+\cos \theta)}=\cot \theta$ (UP 2012)
हलः

प्रश्न 34.
सिद्ध कीजिए $\frac{\csc \theta+\cot \theta}{\csc \theta-\cot \theta}$ = (cosecθ + cotθ)² = 1 + 2 cot² θ + 2 cosecθ cotθ.
हलः

प्रश्न 35.
सिद्ध कीजिए

हलः

प्रश्न 36.
यदि sinθ + cosθ = p a secθ + cosecθ = q, तब सिद्ध कीजिए कि
q(p² – 1) = 2p
हलः
L. H. S. = 9(p² – 1)- 2p
= (sec θ + cosec θ) (UPBoardSolutions.com) [(sin θ + cos θ)² – 1]

∵ (sinθ + cosθ) = P
= P × 2 = 2P = R.H.S.

प्रश्न 37.
यदि cosθ + sinθ = $\sqrt{{2}}$ · cosθ, तब सिद्ध कीजिए कि (cosθ – sinθ) = $\sqrt{{2}}$ · sinθ
हलः
यदि cosθ + sinθ = $\sqrt{{2}}$ cosθ
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
(cosθ + sinθ)² = ( $\sqrt{{2}}$ cosθ)²
cos²θ + sin²θ + 2cosθ sinθ = 2cos²θ
sin²θ = 2cos²θ – cos²θ (UPBoardSolutions.com) = 2sinθ · cosθ
cos²θ – 2cosθ·sinθ = sin²θ
cos²θ + sin²θ – 2cosθ·sinθ = sin²θ + sin²θ
(cosθ – sinθ)² = 2sin²θ
cosθ – sinθ = $\sqrt{{2}}$ sinθ इति सिद्धम्।

प्रश्न 38.
यदि sinθ – cosθ = 0 तब सिद्ध कौजिए कि sin⁴θ + cos⁴θ = $\frac{1}{2}$
हलः
दिया है, sinθ – cosθ = 0
दोनों और वर्ग करने पर,
(sinθ – cosθ)² = 0
sin²θ + cos²θ – 2sinθ cosθ = 0
1 – 2 sinθ cosθ = 0
1 = 2sinθ cosθ
sinθ·cosθ = $\frac{1}{2}$
L. H. S. = sin⁴θ + cos⁴θ
= (sin²θ)² + (cos²θ)² + 2sin²θcos²θ – 2sin²θcos²θ
= (sin²θ + cos²θ)² – 2(sinθ·cosθ)²
= (1)² – 2 $\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$ (UPBoardSolutions.com)
= 1 – 2 × $\frac{1}{4}$ = 1 – $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ = R.H.S

प्रश्न 39.
यदि $\frac{x}{a}$ cosθ + $\frac{y}{b}$ sinθ = 1 व $\frac{x}{a}$ sinθ – $\frac{y}{b}$ cosθ = 1, तब सिद्ध कीजिए कि $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ = 2
हलः

Balaji Class 10 Maths Solutions Chapter 10 Trigonometrical Ratios and Identities Ex 10.4 त्रिकोणमितीय अनुपात एवं असमिकाएँ

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